《2025年练习生高中数学必修第二册人教B版》

7. 化简 $\frac{\sqrt{a^3b^2\sqrt[3]{ab^2}}}{(a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{2}})^4 · \sqrt[3]{\frac{b}{a}}}(a ＞ 0,b ＞ 0)$ 的结果是(B)

A.$\frac{b}{a}$
B.$\frac{a}{b}$
C.$\frac{a^2}{b}$
D.$\frac{b^2}{a}$

答案： 7. B 思维路径：将根式化为分数指数幂的形式→分别针对底数$a$，$b$进行指数运算→将负指数化为分式形式。
[解析]$\frac{\sqrt{a^3b^2\sqrt[3]{ab^2}}}{\left(a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{2}}\right)^4·\sqrt[3]{\frac{b}{a}}}=\frac{a^{\frac{3}{2}}b· a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{3}}}{\left(a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{2}}\right)^4· a^{-\frac{1}{3}}· b^{\frac{1}{3}}}=\frac{a^{\frac{3}{2}+\frac{1}{6}-1+\frac{1}{3}}b^{1+\frac{1}{3}-2-\frac{1}{3}}}{1}=\frac{a}{b}$。故选B。
方法总结：把根式化为分数指数幂形式，主要有两种途径：
(1)从外向里化为分数指数幂；
(2)从里向外化为分数指数幂。

8.(多选)[2022·广东茂名高一期中]以下化简结果正确的是(字母均为正数) (BD)

A.$a^{\frac{5}{2}} · a^{\frac{1}{3}} · a^{\frac{13}{6}} = 1$
B.$(a^6 · b^{-9})^{-\frac{2}{3}} = a^{-4}b^6$
C.$\frac{-15a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3}}c^{-\frac{3}{4}}}{25a^{-\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{5}{4}}} = -\frac{3}{5}ac$
D.$(-2x^{\frac{1}{4}}y^{-\frac{1}{3}})(3x^{-\frac{1}{2}}y^{\frac{2}{3}})(-4x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{2}{3}}) = 24y$

答案： 8. BD [解析]$a^{\frac{5}{2}}· a^{\frac{1}{3}}· a^{\frac{13}{6}}=a^{\frac{5}{2}+\frac{1}{3}+\frac{13}{6}}=a^5\neq1$，故A错误；$(a^6· b^{-9})^{-\frac{2}{3}}=a^{6×\left(-\frac{2}{3}\right)}b^{(-9)×\left(-\frac{2}{3}\right)}=a^{-4}b^6$，故B正确；$\frac{-15a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3}}c^{-\frac{3}{4}}}{25a^{-\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{5}{4}}}=-\frac{3}{5}a^{\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)}b^{\frac{1}{3}-\frac{1}{3}}c^{-\frac{3}{4}-\frac{5}{4}}=-\frac{3}{5}ac^{-2}\neq-\frac{3}{5}ac$，故C错误；$\left(-2x^{\frac{1}{4}}y^{-\frac{1}{3}}\right)\left(3x^{-\frac{1}{2}}y^{\frac{2}{3}}\right)\left(-4x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{2}{3}}\right)=24x^{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}y^{-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}=24y$，故D正确。选BD。

9. 已知 $3a + 2b + 1 = 0$，则 $\frac{4^a × 2^b}{2\sqrt{2^a}} =$$\frac{\sqrt{2}}{4}$.

答案： 9. $\frac{\sqrt{2}}{4}$ [解析]$\frac{4^a×2^b}{2\sqrt{2^a}}=\frac{2^{2a+b}}{2×2^{\frac{a}{2}}}=\frac{1}{2}×2^{\frac{3}{2}a+b}$（将底数统一为$2$）。
因为$3a + 2b + 1 = 0$，所以$\frac{3}{2}a + b = -\frac{1}{2}$，所以$\frac{4^a×2^b}{2\sqrt{2^a}}=\frac{1}{2}×2^{-\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$。

10. [2022·山东枣庄高一期中]求下列各式的值：
(1)$2^{-2} × 64^{\frac{1}{3}} - (\frac{9}{4})^{\frac{1}{2}}$；
(2)$1.5^{\frac{1}{3}} × (-\frac{6}{7})^0 + 8^{0.25} × \sqrt[4]{2} + (\sqrt[3]{2} × \sqrt{3})^6 - \sqrt{(\frac{2}{3})^{\frac{2}{3}}}$.

答案： 10. [解]
(1)原式$=\frac{1}{2^2}×(4^3)^{\frac{1}{3}}-\left[\left(\frac{3}{2}\right)^2\right]^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}×4-\frac{3}{2}=1-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$。
(2)原式$=\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{3}}×1+8^{\frac{1}{4}}×2^{\frac{1}{4}}+\left(2^{\frac{1}{3}}×3^{\frac{1}{2}}\right)^6-\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{2}{3}×\frac{1}{2}}$
$=\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{3}}+(8×2)^{\frac{1}{4}}+2^{\frac{1}{3}×6}×3^{\frac{1}{2}×6}-\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{3}}$
$=\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{3}}+16^{\frac{1}{4}}+2^2×3^3-\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{3}}$
$=\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{3}}+2^{4×\frac{1}{4}}+108-\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{3}}$
$=\sqrt[3]{\frac{3}{2}}-\sqrt[3]{\frac{2}{3}}+110$。

11. $\sqrt{5}^{\sqrt{2}} × \sqrt{5}^{\sqrt{2}} =$ (C)

A.$\sqrt{5}$
B.$5$
C.$5^{\sqrt{2}}$
D.$25$

答案： 11. C [解析]$\sqrt{5^{\sqrt{2}}}×\sqrt{5^{\sqrt{2}}}=\sqrt{5^{2\sqrt{2}}}=\left[(\sqrt{5})^2\right]^{\sqrt{2}}=5^{\sqrt{2}}$。故选C。

12. 化简 $(\frac{1}{2})^{\sqrt{3}} × 4^{\pi}$ 为 (B)

A.$2^{\pi - \sqrt{3}}$
B.$2^{2\pi - \sqrt{3}}$
C.$2^{\sqrt{3} + \pi}$
D.$2^{2\pi + \sqrt{3}}$

答案： 12. B [解析]$\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{3}}×4^n=2^{-\sqrt{3}}×2^{2n}=2^{2n-\sqrt{3}}$。故选B。

13. 若 $a ＞ 0,b ＞ 0$，化简 $(a^{2 - \sqrt{3}}b)^{2 + \sqrt{3}} · b^{2 - \sqrt{3}} =$$ab^4$.

答案： 13. $ab^4$ [解析]因为$a\gt0$，$b\gt0$，所以$(a^{2 - \sqrt{3}}b)^{2 + \sqrt{3}}· b^{2 - \sqrt{3}}=(a^{2 - \sqrt{3}})^{2 + \sqrt{3}}· b^{2 + \sqrt{3}}· b^{2 - \sqrt{3}}=ab^4$。

14. 化简下列各式：
(1)$(5^{3 + \sqrt{2}})^{3 - \sqrt{2}}$；
(2)$\pi^{4 - \pi} · \pi^{\pi - 2}$.

答案： 14. [解]
(1)原式$=(5^{3 + \sqrt{2}})^{3 - \sqrt{2}}=5^{(3 + \sqrt{2})×(3 - \sqrt{2})}=5^{3^2 - (\sqrt{2})^2}=5^7 = 78125$。
(2)原式$=\pi^{(4 - a)+(a - 2)}=\pi^2$。

15. 把根式 $x\sqrt{-x}$ 化成分数指数幂是 (B)

A.$(-x)^{\frac{3}{2}}$
B.$-(-x)^{\frac{3}{2}}$
C.$x^{\frac{3}{2}}$
D.$-x^{\frac{3}{2}}$

答案： 15. B [解析]$x\sqrt{-x}=x·(-x)^{\frac{1}{2}}=-(-x)·(-x)^{\frac{1}{2}}=-(-x)^{\frac{3}{2}}$。故选B。
易错规避：涉及指数运算与根式运算时，注意根据条件确定题中字母的符号。本题中$x\lt0$。

16. 若 $m^{10} = 2$，则 $m =$$\pm\sqrt[10]{2}$.

答案： 16. $\pm\sqrt[10]{2}$ [解析]$\because m^{10}=2$，$\therefore m=\pm\sqrt[10]{2}$。
易错规避：一个实数的奇次方根只有一个，一个正数的偶次方根有两个，这两个数互为相反数。

17. [2022·陕西宝鸡高一期中]已知 $10^{\alpha} = 3,10^{\beta} = 4$，则以下计算有误的是 (A)

A.$10^{-2\alpha} = -10^{2\alpha} = -(10^{\alpha})^2 = -9$
B.$10^{\alpha - \beta} = \frac{10^{\alpha}}{10^{\beta}} = \frac{3}{4}$
C.$10^{\alpha + \beta} = 10^{\alpha} × 10^{\beta} = 3 × 4 = 12$
D.$10^{\frac{\beta}{5}} = (10^{\beta})^{\frac{1}{5}} = 4^{\frac{1}{5}}$

答案： 17. A [解析]$10^{-2a}=(10^a)^{-2}=3^{-2}=\frac{1}{9}$，故A错误；根据指数幂的运算性质易知B，C，D均正确。故选A。

18. 若 $\sqrt[6]{4a^2 - 4a + 1} = \sqrt[3]{1 - 2a}$，则实数 $a$ 的取值范围是 (D)

A.$a \in \mathbf{R}$
B.$\{a|a = 0\}$
C.$\{a|a ＞ \frac{1}{2}\}$
D.$\{a|a \leq \frac{1}{2}\}$

答案： 18. D 思维路径：把等式左边变形为$\sqrt[3]{|2a - 1|}$→分析$\sqrt[3]{|2a - 1|}=\sqrt[3]{1 - 2a}$满足的条件→确定不等式$2a - 1\leq0$→解不等式得$a$的取值范围。
[解析]由$\sqrt[6]{4a^2 - 4a + 1}=\sqrt[6]{(2a - 1)^2}=\sqrt[3]{|2a - 1|}=\sqrt[3]{1 - 2a}$，可得$2a - 1\leq0$，即$a\leq\frac{1}{2}$。故选D。