《2025年练习生高中数学必修第二册人教B版》

1. (多选)[2022·黑龙江哈三中高一期中]下列函数是指数函数的是(CD)

A.$ y = x^{2} $
B.$ y = 2^{x + 1} $
C.$ y = 2^{-x} $
D.$ y = \pi^{x} $

答案： 1. CD 【解析】形如$y = a^x$（$a ＞ 0$且$a \neq 1$）的函数是指数函数，要求其系数为1。A选项不满足形式；B选项的系数为2；C选项$y = 2^{-x} = \left( \dfrac{1}{2}\right)^x$满足；D选项满足。故选CD。
方法总结 在指数函数的定义表达式中，在$a^x$前的系数必须是1，自变量$x$必须在指数的位置上，且不能是$x$的其他表达式。

2. 函数 $ y = (2a - 3)^{x} $ 是指数函数，则 $ a $ 的取值范围是$\left( \dfrac{3}{2},2\right)\cup(2,+\infty)$。

答案： 2. $\left( \dfrac{3}{2},2\right)\cup(2,+\infty)$ 破题关键 根据指数函数的定义列不等式组求解。
【解析】因为$y = (2a - 3)^x$是指数函数，所以$\begin{cases}2a - 3 ＞ 0, \\ 2a - 3 \neq 1 \end{cases}$（不要忽略指数函数中底数不能等于1这一隐含条件），解得$\dfrac{3}{2} ＜ a ＜ 2$或$a ＞ 2$，即$a$的取值范围是$\left( \dfrac{3}{2},2\right)\cup(2,+\infty)$。

3. [2022·江西贵溪实验中学高二月考]设函数 $ f(x) = a^{x}(a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1) $ 满足 $ f(2) = 9 $，则 $ f\left( \dfrac{1}{2} \right) = $(D)

A.$ \dfrac{9}{2} $
B.$ 3 $
C.$ \dfrac{1}{2} $
D.$ \sqrt{3} $

答案： 3. D 思维路径 由$f(2)$的函数值求出$a$的值→求得函数$f(x)$的解析式→求出$f\left( \dfrac{1}{2}\right)$的值。
【解析】$\because f(x) = a^x$，$f(2) = 9$，$\therefore a^2 = 9$。又$\because a ＞ 0$，$\therefore a = 3$，$\therefore f(x) = 3^x$，$\therefore f\left( \dfrac{1}{2}\right) = 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$。故选D。

4. [2022·江西新余一中二模]设函数 $ f(x) = \begin{cases}4x - \dfrac{1}{2}, x ＜ 1, \\ a^{x}, x \geqslant 1.\end{cases}$ 若 $ f\left( f\left( \dfrac{7}{8} \right) \right) = 8 $，则 $ a = $( )

A.$ \dfrac{1}{2} $
B.$ \dfrac{3}{4} $
C.$ 1 $
D.$ 2 $

答案： 4. D 破题关键 求出$f\left( \dfrac{7}{8}\right)$的值，从而得到关于$a$的方程，进而求得结果。
【解析】$f\left( \dfrac{7}{8}\right) = 4×\dfrac{7}{8} - \dfrac{1}{2} = 3$（注意各段函数的定义域，不要代错解析式），$f\left( f\left( \dfrac{7}{8}\right)\right) = f(3) = a^3$，由题意可得$a^3 = 8$，解得$a = 2$。故选D。

5. [2022·浙江台州实验学校高一期中]设函数 $ f(x) = a^{x}(a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1) $。若 $ f(x_{1}x_{2}·s x_{2020}) = 8 $，$ f(x_{1} + x_{2} + ·s + x_{2020}) = 9 $，则 $ f(2x_{1}) · f(2x_{2}) · ·s · f(2x_{2020}) = $(D)

A.$ 9 $
B.$ 18 $
C.$ 27 $
D.$ 81 $

答案： 5. D 【解析】因为$f(x_1 + x_2 + ·s + x_{2020}) = a^{x_1 + x_2 + ·s + x_{2020}} = 9$，所以$f(2x_1)· f(2x_2)· ·s · f(2x_{2020}) = a^{2x_1}· a^{2x_2}· ·s · a^{2x_{2020}} = a^{2(x_1 + x_2 + ·s + x_{2020})} = (a^{x_1 + x_2 + ·s + x_{2020}})^2 = 9^2 = 81$。故选D。

6. (多选)设指数函数 $ f(x) = a^{x}(a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1) $，则下列等式正确的是(ABD)

A.$ f(x + y) = f(x)f(y) $
B.$ f(x - y) = \dfrac{f(x)}{f(y)} $
C.$ f\left( \dfrac{x}{y} \right) = f(x) - f(y) $
D.$ f(nx) = [f(x)]^{n}(n \in \mathbf{Q}) $

答案： 6. ABD 【解析】$f(x + y) = a^{x + y} = a^x· a^y = f(x)f(y)$，故A正确；$f(x - y) = a^{x - y} = a^x· a^{-y} = \dfrac{a^x}{a^y} = \dfrac{f(x)}{f(y)}$，故B正确；$f\left( \dfrac{x}{y}\right) = a^{\frac{x}{y}}$，$f(x) - f(y) = a^x - a^y$，显然，$a^{\frac{x}{y}} \neq a^x - a^y$，故C错误；$n \in \mathbf{Q}$，$f(nx) = a^{nx} = (a^x)^n = [f(x)]^n$，故D正确。选ABD。

7. 若函数 $ f(x) = \begin{cases}2^{x}, x \leqslant 1, \\ f(x - 2), x ＞ 1,\end{cases}$ 则 $ f(3) = $ ______ 。

答案： 7. 2 【解析】由已知条件可得$f(3) = f(3 - 2) = f(1) = 2^1 = 2$。

8. 已知 $ f(x) = 2^{x} + \dfrac{1}{2^{x}} $，若 $ f(a) = 5 $，则 $ f(2a) = $23。

答案： 8. 23 【解析】因为$f(x) = 2^x + \dfrac{1}{2^x}$，若$f(a) = 5$，则$f(a) = 2^a + \dfrac{1}{2^a} = 5$，所以$f(2a) = 2^{2a} + \dfrac{1}{2^{2a}} = \left( 2^a\right)^2 + \left( \dfrac{1}{2^a}\right)^2 = \left( 2^a + \dfrac{1}{2^a}\right)^2 - 2 = 23$。
方法总结 运用完全平方公式变形，求代数式的值的常用变形有：
(1)$a^2 + b^2 = (a \pm b)^2 \mp 2ab$；
(2)$(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$；
(3)$(a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab$；
(4)$(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$；
(5)$(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2a^2 + 2b^2$；
(6)$\left( x \pm \dfrac{1}{x}\right)^2 = x^2 + \dfrac{1}{x^2} \pm 2$。

9. 给出下列函数：① $ y = x^{4} $；② $ y = -4^{x} $；③ $ y = (-4)^{x} $；④ $ y = 4 · 2^{x - 2} $；⑤ $ y = (\sqrt{2})^{2x} $；⑥ $ y = 5^{x^{2}} $；⑦ $ y = x^{x} $；⑧$y=(3a - 2)^x(a ＞ \frac{2}{3},且 a\neq1)$。其中为指数函数的有④⑤⑧(填序号)。

答案： 9. ④⑤⑧ 【解析】因为①中底数不是常数，且指数不是自变量$x$，所以不是指数函数；因为②中$4^x$前的系数不是1，所以不是指数函数；因为③中函数的底数是负数，所以不是指数函数；④中函数$y = 4· 2^{x - 2} = 2^x$是指数函数；⑤中$y = (\sqrt{2})^{2x} = 2^x$是指数函数；因为⑥中函数的指数位置不是自变量$x$，而是$x^2$，所以不是指数函数；因为⑦中函数的底数$x$不是常数，所以不是指数函数；⑧因为$a ＞ \dfrac{2}{3}$，且$a \neq 1$，所以$3a - 2 ＞ 0$，且$3a - 2 \neq 1$，所以是指数函数。
易错规避 判断一个已知函数是否为指数函数，必须抓住解析式的结构特征：
(1)解析式只有一项；
(2)底数$a$为常数，$a ＞ 0$，且$a \neq 1$，指数位置为自变量$x$；
(3)指数中只含有一个$x$的一次项，系数为1，且再无其他项。