《2025年练习生高中数学必修第二册人教B版》

20. [2022·浙江衢州高一期末]已知函数 $ f(x) = x^{3} + \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1} $，则不等式 $ f(x - 2) + f(x^{2} - 4) ＜ 0 $ 的解集为(A)

A.$ (-3, 2) $
B.$ (-2, 3) $
C.$ (-1, 6) $
D.$ (-6, 1) $

答案： 20. A 思维路径：判断函数f(x)的奇偶性→判断函数y = x^3，y = -$\frac{2}{2^x + 1}$的单调性→得出函数f(x)的单调性→根据函数的单调性，结合奇偶性去掉函数符号→解不等式得结果。
[解析]因为函数f(x)的定义域为R，且f(-x)=(-x)^3 + $\frac{2^(-x) - 1}{2^(-x) + 1}$=-x^3 - $\frac{2^x - 1}{2^x + 1}$=-f(x)，所以函数f(x)为奇函数。f(x)=x^3 + $\frac{2^x - 1}{2^x + 1}$=x^3 + 1 - $\frac{2}{2^x + 1}$。因为函数y = x^3，y = -$\frac{2}{2^x + 1}$在(0,+∞)上都是增函数，所以函数f(x)在(0,+∞)上是增函数。又因为函数f(x)的定义域为R且函数是奇函数，所以函数f(x)在R上单调递增。因为f(x - 2) + f(x^2 - 4)＜0，所以f(x - 2)＜ -f(x^2 - 4)=f(4 - x^2)，所以x - 2＜4 - x^2，即x^2 + x - 6＜0，解得 - 3＜x＜2，即不等式f(x - 2) + f(x^2 - 4)＜0的解集为(-3,2)。故选A。

21. (多选)[2022·江苏常州高一学业水平监测]若函数 $ f(x) = a^{x} (a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1) $ 在区间 $ [-2, 2] $ 上的最大值和最小值的和为 $ \frac{10}{3} $，则 $ a $ 的值可能是(BC)

A.$ \frac{1}{3} $
B.$ \frac{\sqrt{3}}{3} $
C.$ \sqrt{3} $
D.$ 3 $

答案： 21. BC [解析]当0＜a＜1时，函数f(x)=a^x在[-2,2]上为减函数，函数的最小值为f
(2)=a^2，函数的最大值为f(-2)=a^(-2)=$\frac{1}{a^2}$，此时$\frac{1}{a^2}$ + a^2 = $\frac{10}{3}$，解得a = $\frac{\sqrt{3}}{3}$；当a＞1时，函数f(x)=a^x在[-2,2]上为增函数，函数的最大值为f
(2)=a^2，函数的最小值为f(-2)=a^(-2)=$\frac{1}{a^2}$，此时a^2 + $\frac{1}{a^2}$ = $\frac{10}{3}$，解得a = $\sqrt{3}$。综上所述，a = $\frac{\sqrt{3}}{3}$或a = $\sqrt{3}$，故选BC。

22. (多选)[2022·浙江绿谷高中联盟高一期中]已知函数 $ y = a^{x}, y = b^{x} (a, b ＞ 0 $ 且 $ a \neq 1, b \neq 1) $ 的图像如图所示，则下列结论正确的是(CD)


A.$ a ＞ b ＞ 1 $
B.$ 0 ＜ a ＜ b ＜ 1 $
C.$ 2^{a} ＜ 2^{b} $
D.$ b ＞ a ＞ 1 $

答案： 22. CD [解析]由指数函数图像可知b＞a＞1，故A错误，B错误，D正确；由b＞a＞1可得2^a＜2^b，故C正确。选CD。

23. 函数 $ f(x) = 4^{x} - 2^{x + 1} $ 的值域是[-1,+∞)。

答案： 23. [-1,+∞) [解析]令t = 2^x＞0，则$f(x)=(2^x)^2 - 2×2^x = t^2 - 2t = (t - 1)^2 - 1≥ - 1，$函数f(x)的值域为[-1,+∞)。

24. 已知点 $ P(-1, \frac{\sqrt{2}}{2}), Q(m, 2) $ 均在指数函数的图像上，则 $ m $ 的值为2。

答案： 24. 2 [解析]设所求的指数函数为y = a^x（a＞0，a≠1）。
∵P(-1,$\frac{\sqrt{2}}{2}$)在指数函数图像上，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{a}$，
∴a = $\sqrt{2}$，则y = ($\sqrt{2}$)^x。将Q(m,2)的坐标代入解析式，得2 = ($\sqrt{2}$)^m，解得m = 2。

25. [2022·北京海淀高一期末]写出定义域为 $ \mathbf{R} $，值域为 $ (-\infty, 1) $ 的一个减函数f(x)=1 - 2^x(答案不唯一)。

答案： 25. f(x)=1 - 2^x(答案不唯一) [解析]因为f(x)=2^x的定义域为R，在R上是增函数，且值域为(0,+∞)，所以f(x)= -2^x的定义域为R，在R上是减函数，且值域为(-∞,0)，所以f(x)=1 - 2^x的定义域为R，在R上是减函数，且值域为(-∞,1)。本题答案不唯一。

26. [2022·宁夏吴忠中学高一期末]已知函数 $ f(x) = (\frac{1}{2})^{x^{2} - 2x + 5} $ 在 $ (a, +\infty) $ 上单调递减，则实数 $ a $ 的取值范围是[1,+∞)。

答案： 26. [1,+∞) [解析]令g(x)=x^2 - 2x + 5，其对称轴为x = 1，则函数g(x)在(-∞,1]上单调递减，在[1,+∞)上单调递增。因为函数f(x)=($\frac{1}{2}$)^(x^2 - 2x + 5)，所以根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数f(x)在(-∞,1]上单调递增，在[1,+∞)上单调递减。又因为函数f(x)在(a,+∞)上单调递减，所以a≥1，所以实数a的取值范围是[1,+∞)。

27. 若直线 $ y = 2a $ 与函数 $ y = |a^{x} - 1| (a ＞ 0, a \neq 1) $ 的图像有两个公共点，则 $ a $ 的取值范围是(0,$\frac{1}{2}$)。

答案：
27. (0,$\frac{1}{2}$) [解析]方法一：因为直线y = 2a与y = |a^x - 1|（a＞0，a≠1）的图像有两个公共点，所以|a^x - 1|=2a有两个不同的解，所以$\begin{cases}a^x\geq1\\a^x = 2a + 1\end{cases}$和$\begin{cases}0＜ a^x＜1\\a^x = -2a + 1\end{cases}$共有两个不同的解。因为2a + 1＞1，所以$\begin{cases}a^x\geq1\\a^x = 2a + 1\end{cases}$有且只有一个实数解。若a＞1，则1 - 2a＜0，$\begin{cases}0＜ a^x＜1\\a^x = -2a + 1\end{cases}$无解，而$\begin{cases}a^x≥1\\a^x = 2a + 1\end{cases}$只有一个解，因此|a^x - 1|=2a有且只有一个实数解，与题设矛盾，即a＞1不符合题意；若0＜a＜1，因为$\begin{cases}a^x≥1\\a^x = 2a + 1\end{cases}$只有一个解，所以$\begin{cases}0＜ a^x＜1\\a^x = -2a + 1\end{cases}$需有一解，所以0＜1 - 2a＜1，解得0＜a＜$\frac{1}{2}$。
方法二：当0＜a＜1时，函数y = |a^x - 1|的图像如图（1）所示。若直线y = 2a与函数y = |a^x - 1|的图像有两个公共点，由图像可知0＜2a＜1，即0＜a＜$\frac{1}{2}$；
　　 　　
当a＞1时，函数y = |a^x - 1|的图像如图（2）所示，此时2a＞2，直线y = 2a与函数y = |a^x - 1|的图像只有一个公共点。
综上所述，a的取值范围是(0,$\frac{1}{2}$)。

28. 函数 $ f(x) = |2^{x} - 1| $。
(1) 请在下面坐标系中画出函数 $ f(x) $ 的图像。
(2) 不等式 $ f(x) ＜ \frac{1}{4}x + \frac{3}{4} $ 的解集为(-1,1)(写出结果即可，不需写过程)。
(3) 若 $ m ＜ n $，$ f(m) = f(n) $，求 $ m + n $ 的取值范围。

答案：
28. [解]
(1)列表如下。
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $f(x)$ | $\frac{3}{4}$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ | $1$ | $3$ |
函数f(x)的图像如下。
　　　　　
(2)由
(1)所得f(x)的图像中画出直线y = $\frac{x}{4}$ + $\frac{3}{4}$，可得如下图像（与方程、不等式有关的问题，应联系函数的有关知识，利用函数图像来解决）。
　　　　
∵y = $\frac{x}{4}$ + $\frac{3}{4}$过点(-1,$\frac{1}{2}$)，(1,1)，
∴不等式f(x)＜$\frac{1}{4}$x + $\frac{3}{4}$的解集为(-1,1)。
(3)
∵f(m)=f(n)，
∴|2^m - 1|=|2^n - 1|。
不妨设m＜0＜n，则1 - 2^m = 2^n - 1，即2^m + 2^n = 2。
∵m＜n，
∴2^m≠2^n，
∴2^m + 2^n＞2$\sqrt{2^m×2^n}$=2$\sqrt{2^(m + n)}$
∴2^(m + n)＜1，
∴m + n＜0。