《2025年练习生高中数学必修第二册人教B版》

19. 化简 $(1 + 2^{-\frac{1}{32}})(1 + 2^{-\frac{1}{16}})(1 + 2^{-\frac{1}{8}})(1 + 2^{-\frac{1}{4}}) · (1 + 2^{-\frac{1}{2}})$ 的结果为 (B)

A.$\frac{1}{2}(1 - 2^{-\frac{1}{32}})$
B.$\frac{1}{2}(1 - 2^{-\frac{1}{32}})^{-1}$
C.$(1 + 2^{-\frac{1}{32}})^{-1}$
D.$\frac{1}{2}$

答案： 19. B 思维路径：原式乘$\frac{1}{1 - 2^{-\frac{1}{32}}}\left(1 - 2^{-\frac{1}{32}}\right)$→逐步利用平方差化简。
[解析]原式$=\frac{1}{1 - 2^{-\frac{1}{32}}}\left(1 - 2^{-\frac{1}{32}}\right)\left(1 + 2^{-\frac{1}{32}}\right)\left(1 + 2^{-\frac{1}{16}}\right)×\left(1 + 2^{-\frac{1}{8}}\right)\left(1 + 2^{-\frac{1}{4}}\right)\left(1 + 2^{-\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{1 - 2^{-\frac{1}{32}}}\left(1 - 2^{-\frac{1}{16}}\right)×\left(1 + 2^{-\frac{1}{16}}\right)\left(1 + 2^{-\frac{1}{8}}\right)\left(1 + 2^{-\frac{1}{4}}\right)\left(1 + 2^{-\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{1 - 2^{-\frac{1}{32}}}×\left(1 - 2^{-\frac{1}{8}}\right)\left(1 + 2^{-\frac{1}{8}}\right)\left(1 + 2^{-\frac{1}{4}}\right)\left(1 + 2^{-\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{1 - 2^{-\frac{1}{32}}}×\left(1 - 2^{-\frac{1}{4}}\right)\left(1 + 2^{-\frac{1}{4}}\right)\left(1 + 2^{-\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{1 - 2^{-\frac{1}{32}}}\left(1 - 2^{-\frac{1}{2}}\right)×\left(1 + 2^{-\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{1 - 2^{-\frac{1}{32}}}×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\left(1 - 2^{-\frac{1}{32}}\right)^{-1}$。故选B。
方法总结：$(1 + a^x)(1 + a^{2x})=\frac{1}{1 - a^x}(1 - a^x)(1 + a^x)(1 + a^{2x})=\frac{1 - a^{4x}}{1 - a^x}$。

20. 已知 $a = \frac{2021^4 + 1}{2021^3 + 1},b = \frac{2021^5 + 1}{2021^4 + 1}$，则 $a$ 与 $b$ 之间的大小关系是 (B)

A.$a ＞ b$
B.$a ＜ b$
C.$a = b$
D.无法比较

答案： 20. B [解析]$\because a=\frac{2021^4 + 1}{2021^3 + 1}=1+\frac{2021^4 - 2021^3}{2021^3 + 1}=1+\frac{2020×2021^3}{2021^3 + 1}$（裂项分离常数），$\therefore a - 1=\frac{2020×2021^3}{2021^3 + 1}$。同理$b - 1=\frac{2020×2021^4}{2021^4 + 1}$。$\because \frac{2020×2021^4}{2021^4 + 1}\gt\frac{2020×2021^4}{2021^4 + 2021}=\frac{2020×2021^3}{2021^3 + 1}$，$\therefore b - 1\gt a - 1$，$\therefore a\lt b$。故选B。

21. [2022·福建莆田第四中学高一期中]$8^{\frac{2}{3}} + \sqrt{(1 - \sqrt{3})^2} + \sqrt[3]{(1 - \sqrt{3})^3} + (\sqrt[3]{3} × \sqrt{3})^6 =$247.

答案： 21. 247 [解析]$8^{\frac{2}{3}}+\sqrt{(1 - \sqrt{3})^2}+\sqrt[3]{(1 - \sqrt{3})^3}+(\sqrt[3]{3}×\sqrt{3})^6=4+\sqrt{3}-1+1-\sqrt{3}+\left(3^{\frac{1}{3}}×3^{\frac{1}{2}}\right)^6=4+243=247$。

22. 若代数式 $\sqrt{2x - 1} + \sqrt{2 - x}$ 有意义，则 $\sqrt{4x^2 - 4x + 1} + 2x\sqrt[4]{(x - 2)^4} =$3.

答案： 22. 3 [解析]由题意得$\begin{cases}2x - 1\geq0\\2 - x\geq0\end{cases}$，解得$\frac{1}{2}\leq x\leq2$。$\sqrt{4x^2 - 4x + 1}+2x\sqrt[4]{(x - 2)^4}=\sqrt{(2x - 1)^2}+2x\sqrt[4]{(x - 2)^4}=|2x - 1|+2|x - 2|=2x - 1+4 - 2x=3$。

23. 已知 $x ＞ 0,r \in \mathbf{N}^*,r \leq 5$，若式子 $(\sqrt[3]{x})^{5 - r}(-\frac{3}{\sqrt{x}})^r$ 表示一个常数，则 $r =$2.

答案： 23. 2 [解析]因为$(\sqrt[3]{x^5})^{-r}·\left(-\frac{3}{\sqrt{x}}\right)^r=(-3)^r x^{\frac{5r}{3}}· x^{-\frac{r}{2}}=(-3)^r x^{\frac{5r}{3}-\frac{r}{2}}=(-3)^r x^{\frac{10r - 5r}{6}}$（分别按常数与未知数进行计算整理）表示一个常数，所以$\frac{10r - 5r}{6}=0$，解得$r = 2$。方法总结：一个含有未知数的代数式要为常数，有两种可能：
(1)若代数式的未知数为字母的系数，则可考虑字母系数为$0$；
(2)若代数式的未知数为字母的指数，则可考虑字母的指数为$0$。

24. 设 $x = \sqrt{10},y$ 是 $x$ 的小数部分，求 $(\frac{1}{y} - x + y)^{\frac{2}{3}}$ 的值.

答案： 24. [解]由已知条件得$y=\sqrt{10}-3$。$\left(\frac{1}{y}-x+y\right)^{\frac{2}{3}}=\left(\frac{1}{\sqrt{10}-3}-\sqrt{10}+\sqrt{10}-3\right)^{\frac{2}{3}}=\left(\frac{\sqrt{10}+3}{10 - 9}-3\right)^{\frac{2}{3}}=(\sqrt{10})^{\frac{2}{3}}=10^{\frac{1}{2}×\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{10}$。

25. [2022·江西高一联考]已知 $a,b(a ＞ b)$ 是方程 $x^2 - 5x + 5 = 0$ 的两根，求 $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$ 的值.

答案： 25. [解]由根与系数的关系，得$a + b = 5$，$ab = 5$。$(a - b)^2=(a + b)^2-4ab=5^2-4×5=5$。$\because a\gt b$，$\therefore a - b=\sqrt{5}$，$\therefore\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2+(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}=\frac{a - 2\sqrt{ab}+b+a + 2\sqrt{ab}+b}{a - b}$（分母互为有理化因式的两个分母通常采取通分化简）$=\frac{2(a + b)}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$。

26. [2022·江苏徐州高一期中]已知 $a ＞ 0$，且 $a^{2x} = \sqrt{2} - 1$，求下列代数式的值.
(1)$(a^x + a^{-x})(a^x - a^{-x})$；
(2)$\frac{a^x + a^{-x}}{a^x - a^{-x}}$；
(3)$\frac{a^{3x} + a^{-3x}}{a^x + a^{-x}}$.

答案： 26. [解]
(1)原式$=a^{2x}-a^{-2x}=(\sqrt{2}-1)-\frac{1}{\sqrt{2}-1}=(\sqrt{2}-1)-(\sqrt{2}+1)=-2$。
(2)原式$=\frac{(a^x+a^{-x})(a^x+a^{-x})}{(a^x-a^{-x})(a^x+a^{-x})}=\frac{(a^x+a^{-x})^2}{a^{2x}-a^{-2x}}=\frac{a^{2x}+a^{-2x}+2}{-2}=\frac{2\sqrt{2}+2}{-2}=-\sqrt{2}-1$（对所求代数式进行变换的目标，就是用$a^{2x}$来表示）。
(3)原式$=\frac{(a^x+a^{-x})(a^{2x}-a^x· a^{-x}+a^{-2x})}{a^x+a^{-x}}$［立方和公式$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$的应用］$=a^{2x}+a^{-2x}-1=\sqrt{2}-1+\frac{1}{\sqrt{2}-1}-1=2\sqrt{2}-1$。
方法总结：掌握以下公式：$(a^x+a^{-x})^2=a^{2x}+a^{-2x}+2$，$(a^x-a^{-x})^2=a^{2x}+a^{-2x}-2$。这两个公式中涉及三个代数式：$a^x+a^{-x}$，$a^x-a^{-x}$，$a^{2x}+a^{-2x}$，只要知道其中一个代数式的值，就可以求得其他两个代数式的值。

27. (1)已知 $2^x + 2^{-x} = 3$，求 $8^x + 8^{-x}$ 的值；
(2)已知 $a = -\frac{8}{27},b = \frac{17}{71}$，求 $\frac{a^{\frac{2}{3}} + 3a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + (3\sqrt[3]{b})^2}{a^{\frac{4}{3}} - 27a^{\frac{1}{3}}b} ÷ \frac{a^{\frac{1}{3}}}{\sqrt[3]{a} - 3\sqrt[3]{b}}$ 的值.

答案：
27. [解]
(1)$8^x+8^{-x}=(2^x)^3+(2^{-x})^3=(2^x+2^{-x})[(2^x)^2-2^x×2^{-x}+(2^{-x})^2]=3[(2^x+2^{-x})^2-3×2^x×2^{-x}]=3×(3^2-3)=18$。
(2)$\because a\neq0$，$a - 27b\neq0$，$a = -\frac{8}{27}$，

$\therefore$原式$=\frac{\left(a^{\frac{1}{3}}\right)^2+3a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}+\left(3b^{\frac{1}{3}}\right)^2}{a^{\frac{1}{3}}(a - 27b)}×\frac{a^{\frac{1}{3}}-3b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}}=\frac{\left(a^{\frac{1}{3}}\right)^3-\left(3b^{\frac{1}{3}}\right)^3}{a^{\frac{2}{3}}(a - 27b)}=a^{-\frac{2}{3}}=\left(-\frac{8}{27}\right)^{-\frac{2}{3}}=\left(-\frac{2}{3}\right)^{-2}=\frac{9}{4}$。

28. 已知 $b ＞ a ＞ 0,n ＞ 1,n \in \mathbf{N}^*$，化简 $\sqrt[n]{(a - b)^n} + (\sqrt[n]{a + b})^n$.

答案： 28. [解]当$n = 2k + 1(k\in\mathbf{N}^*)$时，原式$=a - b + a + b = 2a$；当$n = 2k(k\in\mathbf{N}^*)$时，原式$=|a - b|+a + b = b - a + a + b = 2b$。综上所述，$\sqrt[n]{(a - b)^n}+(\sqrt[n]{a + b})^n=\begin{cases}2a,n = 2k + 1,k\in\mathbf{N}^*\\2b,n = 2k,k\in\mathbf{N}^*\end{cases}$易错规避：注意区分$\sqrt[n]{a^n}=\begin{cases}a,n 为奇数\\|a|,n 为偶数\end{cases}$与$(\sqrt[n]{a})^n=a$。