《2025年练习生高中数学必修第二册人教B版》

12. [2022·上海长宁高一期末]某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，依据以往成绩估算该同学在物理、化学、政治科目等级考中达 $ A^+ $ 的概率分别为 $ \frac{5}{6} $，$ \frac{3}{4} $，$ \frac{2}{5} $. 假设各门科目考试的结果互不影响，则该同学等级考至多有 1 门学科没有获得 $ A^+ $ 的概率为$\frac{91}{120}$.

答案： 12. $\frac{91}{120}$ 【解析】$ p = \frac{5}{6}×\frac{3}{4}×\frac{2}{5} + (1 - \frac{5}{6})×\frac{3}{4}×\frac{2}{5} + \frac{5}{6}×(1 - \frac{3}{4})×\frac{2}{5} + \frac{5}{6}×\frac{3}{4}×(1 - \frac{2}{5}) = \frac{91}{120} $。

13. [2022·北京西城高一期末]在体育知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关篮球知识的问题，已知甲答题正确的概率是 $ \frac{3}{4} $，乙答题错误的概率是 $ \frac{1}{3} $，乙、丙两人都答题正确的概率是 $ \frac{1}{4} $，假设每人答题正确与否是相互独立的.
(1)求丙答题正确的概率；
(2)求甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率.

答案： 13.【解】
(1)记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件$ A,B,C $，设丙答对题的概率$ P(C)=x $，乙答对题的概率$ P(B)=1 - \frac{1}{3}=\frac{2}{3} $。由于每人回答问题正确与否是相互独立的，则$ A,B,C $是相互独立事件。根据相互独立事件同时发生的概率公式，得$ P(BC)=\frac{2}{3}x = \frac{1}{4} $，解得$ x = \frac{3}{8} $，所以丙答对这道题的概率$ P(C)=\frac{3}{8} $。
(2)甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率为$ P(\overline{A}B\overline{C}) = P(\overline{A})P(B)P(\overline{C}) = (1 - \frac{3}{4})×\frac{2}{3}×(1 - \frac{3}{8}) = \frac{5}{48} $。

14. [2021·湖北襄阳五中高一阶段练习]为了丰富业余生活，甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛. 比赛规则如下：①每场比赛有两人参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的人与未参加此场比赛的人进行下一场的比赛；③依次循环，直到有一个人首先获得两场胜利，则本次比赛结束，此人为本次比赛的冠军. 已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为 $ \frac{2}{3} $，甲胜丙的概率为 $ \frac{3}{5} $，乙胜丙的概率为 $ \frac{1}{2} $.
(1)求甲、乙、丙三人共进行了 3 场比赛且丙获得冠军的概率；
(2)求甲和乙先赛且甲获得冠军的概率.

答案： 14. 破题关键 确定各场比赛相互独立→通过逻辑推理分析各事件发生所需要完成的路径→用相互独立事件的概率公式求概率。
【解】
(1)设事件$ M $表示“甲、乙、丙三人进行了3场比赛且丙获得冠军”，则只能是甲和乙先赛，丙上场后连胜两场，具体分为两类：甲胜乙，再丙胜甲，再丙胜乙，冠军为丙；乙胜甲，再丙胜乙，再丙胜甲，冠军为丙。所以$ P(M) = \frac{2}{3}×(1 - \frac{3}{5})×(1 - \frac{1}{2}) + (1 - \frac{2}{3})×(1 - \frac{1}{2})×(1 - \frac{3}{5}) = \frac{1}{5} $。
(2)设事件$ N $表示“甲与乙先赛且甲获得冠军”，则分为三类：$ N_1 $表示“甲胜乙，再甲胜丙”；$ N_2 $表示“甲胜乙，再丙胜甲，再乙胜丙，再甲胜乙”；$ N_3 $表示“乙胜甲，再丙胜乙，再甲胜丙，再甲胜乙”，则$ P(N_1) = \frac{2}{3}×\frac{3}{5} = \frac{2}{5} $，$ P(N_2) = \frac{2}{3}×(1 - \frac{3}{5})×\frac{1}{2}×\frac{2}{3} = \frac{4}{45} $，$ P(N_3) = (1 - \frac{2}{3})×(1 - \frac{1}{2})×\frac{3}{5}×\frac{2}{3} = \frac{1}{15} $，所以$ P(N) = P(N_1\cup N_2\cup N_3) = P(N_1) + P(N_2) + P(N_3) = \frac{2}{5} + \frac{4}{45} + \frac{1}{15} = \frac{25}{45} = \frac{5}{9} $，所以甲和乙先赛且甲获得冠军的概率是$ \frac{5}{9} $。
素养解读
|素养|考查途径|
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|逻辑推理|通过分析三者之间相互的胜负关系，推理出符合题意的解题路径|
|数学运算|根据推理出的解题路径，利用数学运算完成概率的计算|