《2025年练习生高中数学必修第二册人教B版》

7. 不透明容器中有 5 个白乒乓球和 3 个黄乒乓球.
(1)“从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球”与“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个，取出的还是白球”这两个事件是否相互独立？为什么？
(2)“从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球”与“把取出的 1 个白球放回容器，再从容器中任意取出 1 个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？为什么？

答案： 7.【解】
(1)不是相互独立事件。理由：“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为$ \frac{5}{8} $，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为$ \frac{4}{7} $；若前一事件没有发生，则这一事件发生的概率为$ \frac{5}{7} $。可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件。
(2)是相互独立事件。理由：因为把取出的白球放回容器，故对“从中任意取出1个，取出的是黄球”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件。
易错规避 对相互独立事件的概念理解不透彻，不能正确判断两事件是否为相互独立事件。

8. [2021·贵州遵义第一中学高一阶段练习]有 4 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取 1 个球. 甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是 5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 6”，则(C)

A.甲与丁相互独立
B.乙与丁相互独立
C.甲与丙相互独立
D.丙与丁相互独立

答案： 8. C 思维路径 理解相互独立事件的概念及计算公式→判断事件之间是否相互独立。
【解析】由题意得$ P(甲)=\frac{1}{4} $，$ P(乙)=\frac{1}{4} $，$ P(丙)=\frac{1}{4} $，$ P(丁)=\frac{3}{16} $，$ P(甲丁)=0\neq P(甲)P(丁) $，$ P(乙丁)=\frac{1}{16}\neq P(乙)P(丁) $，$ P(甲丙)=\frac{1}{16}=P(甲)P(丙) $，$ P(丙丁)=0\neq P(丙)P(丁) $，根据相互独立事件概率的乘法公式可得甲与丙相互独立。故选C。

9. [2021·广东佛山一中高一阶段练习]甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场. 每场比赛没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为 $ \frac{2}{3} $，甲胜丙的概率为 $ \frac{1}{4} $，乙胜丙的概率为 $ \frac{1}{5} $. 则甲获第一名且丙获第二名的概率为(D)

A.$ \frac{11}{12} $
B.$ \frac{1}{6} $
C.$ \frac{1}{30} $
D.$ \frac{2}{15} $

答案： 9. D 【解析】设事件$ A $表示“甲胜乙”，事件$ B $表示“甲胜丙”，事件$ C $表示“乙胜丙”，甲获第一名且丙获第二名的情况即甲胜乙且甲胜丙且丙胜乙（逻辑推理出甲、乙、丙三者相互之间的胜负情况），所以甲获第一名且丙获第二名的概率$ p = P(AB\overline{C}) = P(A)P(B)P(\overline{C}) = \frac{2}{3}×\frac{1}{4}×(1 - \frac{1}{5}) = \frac{2}{15} $。故选D。

10. 如图，开关 $ K_1 $，$ K_2 $ 被称为双联开关，$ K_1 $ 可以与 $ a $，$ b $ 点相连，概率均为 $ \frac{1}{2} $，$ K_2 $ 可以与 $ c $，$ d $ 点相连，概率均为 $ \frac{1}{2} $，普通开关 $ K_3 $ 要么与 $ e $ 点相连(闭合)，要么悬空(断开)，概率也均为 $ \frac{1}{2} $. 若各开关之间的连接情况相互独立，则电灯 $ L_1 $ 不亮的概率是(C)


A.$ \frac{1}{8} $
B.$ \frac{1}{4} $
C.$ \frac{3}{4} $
D.$ \frac{7}{8} $

答案： 10. C 【解析】先考虑对立事件“电灯$ L_1 $亮”：首先需要“$ K_3 $与$ e $点相连”，同时满足“$ K_1 $与$ a $点相连且$ K_2 $与$ c $点相连”或“$ K_1 $与$ b $点相连且$ K_2 $与$ d $点相连”，因此电灯$ L_1 $亮的概率$ p = \frac{1}{2}×(\frac{1}{2}×\frac{1}{2} + \frac{1}{2}×\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} $，故电灯$ L_1 $不亮的概率为$ \frac{3}{4} $。故选C。

11. (多选)甲袋中有 5 个红球和 15 个白球，乙袋中有 5 个红球和 5 个白球，从两袋中各摸出一个球. 下列结论中正确的是(AC)

A.2 个球都是红球的概率为 $ \frac{1}{8} $
B.2 个球不都是红球的概率为 $ \frac{3}{8} $
C.至少有 1 个红球的概率为 $ \frac{5}{8} $
D.2 个球中恰有 1 个红球的概率为 $ \frac{3}{8} $

答案： 11. AC 【解析】令从甲袋中、乙袋中摸出一个红球的事件分别为$ A,B $，事件$ A,B $相互独立，则$ P(A)=\frac{5}{20}=\frac{1}{4} $，$ P(B)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2} $，$ P(\overline{A})=\frac{3}{4} $，$ P(\overline{B})=\frac{1}{2} $。2个球都是红球的事件为$ AB $，则$ P(AB)=P(A)P(B)=\frac{1}{8} $，故A正确；2个球不都是红球的对立事件为$ AB $，则概率为$ 1 - P(AB)=\frac{7}{8} $，故B不正确；至少有1个红球的对立事件为$ \overline{A}\overline{B} $，则概率为$ 1 - P(\overline{A}\overline{B}) = 1 - P(\overline{A})P(\overline{B}) = \frac{5}{8} $，故C正确；2个球中恰有1个红球的事件为$ A\overline{B}\cup\overline{A}B $，则概率为$ P(A\overline{B}\cup\overline{A}B) = P(A)P(\overline{B}) + P(\overline{A})P(B) = \frac{1}{2} $，故D不正确。选AC。