《2025年练习生高中数学必修第二册人教B版》

1. 对甲厂、乙厂、丙厂所生产的袋装食品各抽检了 20 袋，称得质量如柱形图所示.

据此估计甲厂、乙厂、丙厂质量的标准差，分别用 $ s_1,s_2,s_3 $ 表示，则有(C)

A.$ s_2＞s_1＞s_3 $
B.$ s_1＞s_3＞s_2 $
C.$ s_3＞s_1＞s_2 $
D.$ s_3＞s_2＞s_1 $

答案： 1.C 【解析】根据题意，甲厂袋装食品质量的平均数$\bar{x}_{1}=\frac{1}{20}×(5×7 + 5×8 + 5×9 + 5×10)=8.5$，方差$s_{1}^{2}=\frac{1}{20}×[5×(7 - 8.5)^{2}+5×(8 - 8.5)^{2}+5×(9 - 8.5)^{2}+5×(10 - 8.5)^{2}]=1.25$，标准差$s_{1}=\sqrt{1.25}$；乙厂袋装食品质量的平均数$\bar{x}_{2}=\frac{1}{20}×(4×7 + 6×8 + 6×9 + 4×10)=8.5$，方差$s_{2}^{2}=\frac{1}{20}×[4×(7 - 8.5)^{2}+6×(8 - 8.5)^{2}+6×(9 - 8.5)^{2}+4×(10 - 8.5)^{2}]=1.05$，标准差$s_{2}=\sqrt{1.05}$；丙厂袋装食品质量的平均数$\bar{x}_{3}=\frac{1}{20}×(6×7 + 4×8 + 4×9 + 6×10)=8.5$，方差$s_{3}^{2}=\frac{1}{20}×[6×(7 - 8.5)^{2}+4×(8 - 8.5)^{2}+4×(9 - 8.5)^{2}+6×(10 - 8.5)^{2}]=1.45$，标准差$s_{3}=\sqrt{1.45}$。所以$s_{3}＞s_{1}＞s_{2}$。故选C。

2. 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了 100 根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据都在区间 $[5,40]$ 中，其频率分布直方图如图. 估计棉花纤维的长度的样本数据的 90% 分位数是(A)


A.$ 32.5\ mm $
B.$ 33\ mm $
C.$ 33.5\ mm $
D.$ 34\ mm $

答案： 2.A 【解析】棉花纤维的长度在30 mm以下的比例为$(0.01 + 0.01 + 0.04 + 0.06 + 0.05)×5 = 0.85 = 85\%$，在35 mm以下的比例为$85\% + 10\% = 95\%$，因此，90%分位数一定位于$[30,35)$内。由$30 + 5×\frac{0.90 - 0.85}{0.95 - 0.85}=32.5$，可以估计棉花纤维长度的样本数据的90%分位数是32.5 mm。故选A。

3. [2022·云南高二阶段练习]某大学为了了解该校学生的体重情况，从中抽取了若干个样本进行研究，将数据整理后得到如图的频率分布直方图，已知图中从左到右前四组的频率之比为 $ 1:3:5:5 $，其中第二组的频数为 60，则下列说法错误的是(C)


A.抽取的样本容量为 400
B.样本中体重在 $[65,70)$ 的频率为 0.25
C.若该大学共有学生 36 000 人，则体重超过 80 kg 的估计有 600 人
D.估计抽取的学生体重的中位数约为 66 kg

答案： 3.C 【解析】由后四组的频率值可得前四组的频率之和为$1 - 0.005×5×2 - 0.01×5 - 0.04×5 = 0.7$（频率对应矩形的面积，解题时要注意正难则反的原则），所以第二组的频率为$0.7×\frac{3}{14}=\frac{3}{20}=0.15$，所以抽取的样本容量为$60÷\frac{3}{20}=400$，故A正确；体重在$[65,70)$的频率为$0.7×\frac{5}{14}=0.25$，B正确；若该大学共有学生36 000人，则体重超过80 kg的估计有$0.005×2×5×36 000 = 1 800$（人），C错误；设抽取学生体重的中位数为$x$，则$0.01×5 + 0.15 + 0.25 + 0.05×(x - 65)=0.5$，解得$x = 66$，D正确。故选C。
方法总结 由频率分布直方图求总体中随机变量在某个范围内的频数，要先求出样本在此范围内的频率，总体容量乘此频率即得对应范围内的频数。