《2025年练习生高中数学必修第二册人教B版》

10. 计算：
(1) $\log_{3}\frac{\sqrt[4]{27}}{3} + \log_{2}20 - 5^{\log_{5}\frac{7}{4}} - \log_{2}5$；
(2) $\frac{2\lg 4 + \lg\frac{5}{8}}{\lg\sqrt{10}×\lg 0.1}$；
(3) $e^{\ln 4} + \log_{\sqrt{5}}25 + \lg 25 + \lg 2×\lg 50 + (\lg 2)^{2}$。

答案： 10.【解】
(1)原式$=\frac{1}{4}\log_{3}27-\log_{3}3 + 2\log_{2}2+\log_{2}5-\frac{7}{4}-\log_{2}5=\frac{3}{4}-1 + 2-\frac{7}{4}=0$.
(2)方法一:$\frac{2\lg 4+\lg\frac{5}{8}}{\lg\sqrt{10}×\lg0.1}=\frac{\lg\left(4^{2}×\frac{5}{8}\right)}{\left(\frac{1}{2}\lg 10\right)×(-\lg 10)}=\frac{1}{-\frac{1}{2}}=-2$.
方法二:$\frac{2\lg 4+\lg\frac{5}{8}}{\lg\sqrt{10}×\lg0.1}=\frac{\lg 16+\lg 5-\lg 8}{\left(\frac{1}{2}\lg 10\right)×(-\lg 10)}=\frac{\lg 16-\lg 8+\lg 5}{-\frac{1}{2}}=\frac{\lg 2+\lg 5}{-\frac{1}{2}}=-2$
(3)原式$=4 + 4 + 2\lg 5+\lg 2×(-2\lg 2)+(\lg 2)^{2}=8 + 2(\lg 2+\lg 5)=8 + 2 = 10$.

11. [2022·北京西城高一期末]若 $2^{a} = 3$，则 $\log_{4}3=$(A)

A.$\frac{1}{2}a$
B.$a$
C.$2a$
D.$4a$

答案： 11.A 【解析】$\because 2^{a}=3,\therefore \log_{4}3=\log_{2^{2}}2^{a}=\frac{a}{2}\log_{2}2=\frac{1}{2}a$. 故选 A.

12. [2022·广东湛江第四中学高二期中]已知 $2^{x} = 3^{y} = 6$，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的值为(A)

A.$1$
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{6}$

答案： 12.A 【解析】因为$2^{x}=3^{y}=6$,所以$x=\log_{2}6=\frac{\lg 6}{\lg 2},y=\log_{3}6=\frac{\lg 6}{\lg 3}$,所以$\frac{1}{x}=\frac{\lg 2}{\lg 6},\frac{1}{y}=\frac{\lg 3}{\lg 6}$,所以$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{\lg 2}{\lg 6}+\frac{\lg 3}{\lg 6}=\frac{\lg 6}{\lg 6}=1$. 故选 A.

13. (多选)[2022·福建厦门双十中学高一月考]设 $a$，$b$，$c$ 都是正数，且 $9^{a} = 15^{b} = 25^{c}$，那么(AC)

A.$ab + bc = 2ac$
B.$ab + bc = ac$
C.$\frac{1}{c}=\frac{2}{b}-\frac{1}{a}$
D.$\frac{2}{c}=\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$

答案： 13.AC 【解析】设$9^{a}=15^{b}=25^{c}=m＞1$(注意题设条件中$a,b,c$均为正数),则$a=\log_{9}m,b=\log_{15}m,c=\log_{25}m$.$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{1}{\log_{9}m}+\frac{1}{\log_{25}m}=\log_{m}9+\log_{m}25=\log_{m}(9×25)=2\log_{m}15=\frac{2}{b}$,即$\frac{1}{c}=\frac{2}{b}-\frac{1}{a}$,故 C 正确;将$\frac{1}{c}=\frac{2}{b}-\frac{1}{a}$的两边同时乘$abc$,得$ab + bc = 2ac$,故 A 正确,B 错误;$\frac{1}{c}-\frac{1}{a}=\log_{m}25-\log_{m}9=\log_{m}\frac{25}{9}=2\log_{m}\frac{5}{3},\frac{1}{2b}=\frac{1}{2\log_{15}m}=\frac{1}{2}\log_{m}15,\frac{1}{c}-\frac{1}{a}\neq\frac{1}{2b}$,即$\frac{2}{c}\neq\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$,故 D 错误. 选 AC.

14. 已知 $12^{a} = 4$，$b = \log_{12}5$，则 $\log_{20}100=$$\frac{a + 2b}{a + b}$(结果用 $a$，$b$ 表示)。

答案： 14.$\frac{a + 2b}{a + b}$ 【解析】因为$12^{a}=4$,所以$a=\log_{12}4$. 又因为$b=\log_{12}5$,所以$\log_{20}100=\frac{\log_{12}100}{\log_{12}20}=\frac{\log_{12}(4×5^{2})}{\log_{12}(4×5)}=\frac{\log_{12}4 + 2\log_{12}5}{\log_{12}4+\log_{12}5}=\frac{a + 2b}{a + b}$.

15. 计算：
(1) $\log_{2}\frac{1}{25}×\log_{3}\frac{1}{8}×\log_{5}\frac{1}{9}$；
(2) $(\log_{2}5 + \log_{4}0.2)(\log_{5}2 + \log_{25}0.5)$。

答案： 15.【解】
(1)原式$=\frac{\lg\frac{1}{25}}{\lg 2}×\frac{\lg\frac{1}{8}}{\lg 3}×\frac{\lg\frac{1}{9}}{\lg 5}=\frac{\lg 5^{-2}}{\lg 2}×\frac{\lg 2^{-3}}{\lg 3}×\frac{\lg 3^{-2}}{\lg 5}=\frac{-2\lg 5}{\lg 2}×\frac{-3\lg 2}{\lg 3}×\frac{-2\lg 3}{\lg 5}=-12×\left(\frac{\lg 5}{\lg 2}×\frac{\lg 2}{\lg 3}×\frac{\lg 3}{\lg 5}\right)=-12$.
(2)原式$=\left(\log_{2}5+\frac{1}{2}\log_{2}\frac{1}{5}\right)\left(\log_{5}2+\frac{1}{2}\log_{5}\frac{1}{2}\right)$(遇到不同底的对数加、减、乘、除运算利用换底公式来化简求值)$=\left(\log_{2}5+\frac{1}{2}\log_{2}5^{-1}\right)\left(\log_{5}2+\frac{1}{2}\log_{5}2^{-1}\right)=\left(\log_{2}5-\frac{1}{2}\log_{2}5\right)\left(\log_{5}2-\frac{1}{2}\log_{5}2\right)=\frac{1}{4}\log_{2}5·\log_{5}2=\frac{1}{4}$.

16. 方程 $\log_{(2x^{2}-1)}(3x^{2} + 2x - 1) = 1$ 的根为(A)

A.$x = -2$
B.$x = -1$
C.$x = -2$，$x = 0$
D.$x = -1$，$\frac{1}{3}$

答案： 16.A 【解析】由$\log_{(2x^{2}-1)}(3x^{2}+2x - 1)=1$,得$3x^{2}+2x - 1=2x^{2}-1$,解得$x = - 2$或$x = 0$. 由题意知$\begin{cases}2x^{2}-1＞0,\\2x^{2}-1\neq1,\\3x^{2}+2x - 1＞0,\end{cases}$ 解得$x＜-1$,或$\frac{\sqrt{2}}{2}＜x＜1$,或$x＞1$,所以$x = - 2$. 故选 A.

17. [2022·四川乐山高一期末]计算：$(\log_{2}3 + \log_{4}9)·(\log_{3}2 - \log_{9}2)=$1。

答案： 17.1 【解析】$(\log_{2}3+\log_{4}9)(\log_{3}2-\log_{9}2)=(\log_{2}3+\log_{2^{2}}3^{2})·(\log_{3}2-\log_{3^{2}}2)=(\log_{2}3+\log_{2}3)\left(\log_{3}2-\frac{1}{2}\log_{3}2\right)=2\log_{2}3·\frac{1}{2}\log_{3}2=1$.

18. 已知 $\lg 5 = a$，则 $\lg 20=$(C)

A.$4 + a$
B.$0.6 + a$
C.$2 - a$
D.$2a - 4$

答案： 18.C 【解析】$\because \lg 5 = a,\therefore \lg 20=\lg\frac{100}{5}=\lg 100-\lg 5=\lg 10^{2}-\lg 5 = 2\lg 10-\lg 5 = 2 - a$. 故选 C.

19. [2022·山东威海高一期末]若 $2^{a} = 5^{b} = 10$，则 $2^{\frac{a}{b}}=$(C)

A.$2$
B.$4$
C.$5$
D.$10$

答案： 19.C 【解析】$\because 2^{a}=5^{b}=10,\therefore a=\log_{2}10,b=\log_{5}10,\therefore \frac{a}{b}=\frac{\log_{2}10}{\log_{5}10}=\frac{\ln 10}{\ln 2}÷\frac{\ln 10}{\ln 5}=\frac{\ln 5}{\ln 2}=\log_{2}5,\therefore 2^{\frac{a}{b}}=2^{\log_{2}5}=5$. 故选 C.

20. 2021 年 5 月 11 日，全国第七次人口普查的结果正式公布，截止到 2020 年，全国人口总数约为 14 亿，下列各选项的结果与 14 亿最接近的是(参考数据：$e\approx2.718$，$\ln 2\approx0.7$，$\ln 5\approx1.6$，$\ln 7\approx1.9$)(C)

A.$e^{19.11}$
B.$e^{20.03}$
C.$e^{21.06}$
D.$e^{22.11}$

答案： 20.C 【解析】设$14×10^{8}=e^{x},x=\ln(14×10^{8})=\ln 14 + 8\ln 10=\ln(2×7)+8\ln(2×5)=9\ln 2+\ln 7 + 8\ln 5\approx9×0.7 + 1.9 + 8×1.6 = 21$. 故选 C.