《2025年练习生高中数学必修第二册人教B版》

1. [2022·北京房山高一期末]某食品的保鲜时间 $ y $ (单位: $ h $) 与储藏温度 $ x $ (单位: $ °C $) 满足函数关系 $ y = e^{kx + b} $ ($ e = 2.718·s $ 为自然对数的底数, $ k,b $ 为常数). 若该食品在 $ 0 °C $ 的保鲜时间是 $ 144 h $, 在 $ 20 °C $ 的保鲜时间是 $ 36 h $, 则该食品在 $ 30 °C $ 的保鲜时间是 (B)

A.$ 16 h $
B.$ 18 h $
C.$ 20 h $
D.$ 24 h $

答案： B 【解析】$\because y = e^{kx + b}$，食品在$0° C$的保鲜时间是$144\ h$，在$20° C$的保鲜时间是$36\ h$，$\therefore \begin{cases} e^{b} = 144 \\ e^{20k + b} = 36 \end{cases}$，解得$e^{20k} = \frac{1}{4}$，即$e^{10k} = \frac{1}{2}$，$\therefore y = e^{30k + b} = e^{20k + b} · e^{10k} = 36 × \frac{1}{2} = 18$，即该食品在$30° C$的保鲜时间是$18\ h$。故选 B。

2. 据统计, 第 $ x $ 年某湿地公园越冬的白鹭数量 $ y $ (只) 近似满足 $ y = k\log_3(x + 1) $, 观测发现第 $ 2 $ 年有越冬白鹭 $ 1000 $ 只, 估计第 $ 5 $ 年有越冬白鹭 ($ \ln 2 \approx 0.7,\ln 3 \approx 1.1 $) (B)

A.$ 1530 $ 只
B.$ 1630 $ 只
C.$ 1830 $ 只
D.$ 1930 $ 只

答案： B 【解析】$\because$ 第$x$年某湿地公园越冬的白鹭数量$y$（只）近似满足$y = k\log_3(x + 1)$，且$x = 2$时$y = 1000$，$\therefore 1000 = k\log_3 3$，解得$k = 1000$，$\therefore y = 1000\log_3(x + 1)$。$\therefore$ 当$x = 5$时，$y = 1000\log_3 6 = 1000 × (\log_3 3 + \log_3 2) = 1000 × \left(1 + \frac{\ln 2}{\ln 3}\right) \approx 1630$。故选 B。

3. 某产品的总成本 $ y $ (万元) 与产量 $ x $ (台) 之间的函数关系式为 $ y = 0.5× 2^{\sqrt{x + 2}} + 5x $, 若每台产品的售价为 $ 8 $ 万元, 则当产量为 $ 7 $ 台时, 生产者可获得的利润为17万元.

答案： 17 【解析】当产量为$7$台时，总成本为$y = 0.5 × 2^{\sqrt{7^2 + 2}} + 5 × 7 = 39$（万元），则生产者可获得的利润为$7 × 8 - 39 = 17$（万元）。

4. 风光秀丽的千岛湖盛产鳙鱼, 记鳙鱼在湖中的游速为 $ v m/s $, 鳙鱼在湖中的耗氧量的单位数为 $ x $, 已知鳙鱼的游速 $ v $ 与 $ \log_2\frac{x}{100}(x \geq 100) $ 成正比, 当鳙鱼的耗氧量为 $ 200 $ 单位时, 其游速为 $ \frac{1}{2} m/s $. 若某条鳙鱼的游速提高了 $ 1 m/s $, 那么它的耗氧量的单位数是原来的 (B)

A.$ 2 $ 倍
B.$ 4 $ 倍
C.$ 6 $ 倍
D.$ 8 $ 倍

答案： B 【解析】$\because$ 鳙鱼的游速$v$与$\log_2 \frac{x}{100}(x \geq 100)$成正比，$\therefore v = k\log_2 \frac{x}{100}$。$\because$ 当$x = 200$时，$v = \frac{1}{2}$，$\therefore \frac{1}{2} = k\log_2 \frac{200}{100}$，解得$k = \frac{1}{2}$，$\therefore v = \frac{1}{2}\log_2 \frac{x}{100}(x \geq 100)$。设鳙鱼开始的速度为$v_0$，耗氧的单位数为$x_0$，提速后的速度为$v_1$，提速后的耗氧的单位数为$x_1$。$\therefore v_1 = v_0 + 1 = \frac{1}{2}\log_2 \frac{x_0}{100} + 1 = \frac{1}{2}\left(\log_2 \frac{x_0}{100} + 2\right) = \frac{1}{2}\log_2 \frac{4x_0}{100}$，$v_1 = \frac{1}{2}\log_2 \frac{x_1}{100}$，$\therefore x_1 = 4x_0$。故选 B。

5. [2022·浙江丽水高一期末]为实现碳达峰、碳中和奠定坚实基础, 《中共中央国务院关于完整准确全面贯彻新发展理念做好碳达峰碳中和工作的意见》中提出到 $ 2025 $ 年, 单位国内生产总值二氧化碳排放比 $ 2020 $ 年下降 $ 18\% $, 则 $ 2020 $ 年至 $ 2025 $ 年要求单位国内生产总值二氧化碳排放的年均减排率最低是 (B)

A.$ 0.036 $
B.$ 1 - \sqrt[5]{0.82} $
C.$ \sqrt[5]{0.82} $
D.$ 1 + \sqrt[5]{0.82} $

答案： B 【解析】设年均减排率是$x$。由到$2025$年，单位国内生产总值二氧化碳排放比$2020$年下降$18\%$，可知到$2025$年，单位国内生产总值二氧化碳排放不多于$2020$年的$82\%$，则$(1 - x)^5 \leq 0.82$，解得$x \geq 1 - \sqrt[5]{0.82}$。故选 B。

6. 有 $ A,B $ 两种理财产品, 投资这两种理财产品所能获得的年利润分别是 $ W $ 和 $ T $ (万元), 它们与投入资金 $ x $ (万元) 的关系有经验方程式: $ W = \frac{x}{5},T = \frac{3\sqrt{x}}{5} $, 今有 $ 5 $ 万元资金投资到 $ A,B $ 两种理财产品, 可获得的最大年利润是1.45万元.

答案： 1.45 【解析】设对 A，B 两种理财产品投入的资金分别为$x$万元和$(5 - x)$万元，利润为$y$万元，则$y = \frac{1}{5}x + \frac{3}{5}\sqrt{5 - x}(0 \leq x \leq 5)$。令$t = \sqrt{5 - x}$，则$0 \leq t \leq \sqrt{5}$，$x = 5 - t^2$，所以$y = \frac{1}{5}(5 - t^2) + \frac{3}{5}t = -\frac{1}{5}t^2 + \frac{3}{5}t + 1 = -\frac{1}{5}\left(t - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{29}{20}(0 \leq t \leq \sqrt{5})$。所以当$t = \frac{3}{2}$时，$y$取最大值，为$\frac{29}{20} = 1.45$（万元），故可获得的最大年利润是$1.45$万元。