《2025年练习生高中数学必修第二册人教B版》

13. [2022·全国甲卷]从分别写有 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片中无放回随机抽取 2 张，则抽到的 2 张卡片上的数字之积是 4 的倍数的概率为(C)

A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{2}{3}$

答案： 13. C
【解析】从6张卡片中任取2张的取法有$(1,2)$，$(1,3)$，$(1,4)$，$(1,5)$，$(1,6)$，$(2,3)$，$(2,4)$，$(2,5)$，$(2,6)$，$(3,4)$，$(3,5)$，$(3,6)$，$(4,5)$，$(4,6)$，$(5,6)$，共15种不同取法，其中2张卡片上的数字之积是4的倍数的取法有$(1,4)$，$(2,4)$，$(2,6)$，$(3,4)$，$(4,5)$，$(4,6)$，共6种，所以所求概率$p = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$。故选C。
关键点拨 求古典概型的概率的关键是求试验的样本点的总数和事件$A$包含的样本点的个数，这就需要正确列出样本点，在列举样本点时，可以利用列举法、树状图法等，同时要注意细节，如用列举法时，注意是无序还是有序，以防遗漏。

14. [2018·全国卷Ⅱ]从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是女同学的概率为(D)

A.0.6
B.0.5
C.0.4
D.0.3

答案： 14. D
【解析】设2名男同学为$A_{1},A_{2}$，3名女同学为$B_{1},B_{2},B_{3}$，从以上5名同学中任选2人总共有$A_{1}A_{2}$，$A_{1}B_{1}$，$A_{1}B_{2}$，$A_{1}B_{3}$，$A_{2}B_{1}$，$A_{2}B_{2}$，$A_{2}B_{3}$，$B_{1}B_{2}$，$B_{1}B_{3}$，$B_{2}B_{3}$，共10种可能，选中的2人都是女同学的情况有$B_{1}B_{2}$，$B_{1}B_{3}$，$B_{2}B_{3}$，共三种可能，则选中的2人都是女同学的概率$p = \frac{3}{10} = 0.3$。故选D。

15. [2021·新高考Ⅰ卷]有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取 1 个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是 8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7”，则(B)

A.甲与丙相互独立
B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立
D.丙与丁相互独立

答案： 15. B
【解析】依题意，有放回地随机取两次，共有36种不同结果：$(1,1)$，$(1,2)$，$(1,3)$，$(1,4)$，$(1,5)$，$(1,6)$，$(2,1)$，$(2,2)$，$(2,3)$，$(2,4)$，$(2,5)$，$(2,6)$，$(3,1)$，$(3,2)$，$(3,3)$，$(3,4)$，$(3,5)$，$(3,6)$，$(4,1)$，$(4,2)$，$(4,3)$，$(4,4)$，$(4,5)$，$(4,6)$，$(5,1)$，$(5,2)$，$(5,3)$，$(5,4)$，$(5,5)$，$(5,6)$，$(6,1)$，$(6,2)$，$(6,3)$，$(6,4)$，$(6,5)$，$(6,6)$。
其中$P(甲) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$，$P(乙) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$，$P(丙) = \frac{5}{36}$，$P(丁) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$，
丁事件包含$(1,6)$，$(6,1)$，$(2,5)$，$(5,2)$，$(3,4)$，$(4,3)$，共6个样本点。
丙事件包含$(2,6)$，$(6,2)$，$(3,5)$，$(5,3)$，$(4,4)$，共5个样本点。
易知“甲、丙同时发生”的样本点为0个，“丙、丁同时发生”的样本点为0个，“乙、丙同时发生”的样本点为$(6,2)$，共1个，
$\therefore P(乙丙) = \frac{1}{36}$。又$P(乙)P(丙) = \frac{1}{6}×\frac{5}{36} \neq \frac{1}{36}$，
$\therefore$ 乙、丙不相互独立。
同理可知“甲、丁同时发生”的样本点为$(1,6)$，
$\therefore P(甲丁) = \frac{1}{36}$。又$P(甲)P(丁) = \frac{1}{6}×\frac{1}{6} = \frac{1}{36}$，
$\therefore P(甲丁) = P(甲)P(丁)$，$\therefore$ 甲与丁相互独立。故选B。
方法总结 抽取问题是古典概型的常见问题，解决此类问题要注意两点：一是所给问题是否要将被抽取的个体进行区分才能满足古典概型的条件，二是抽取的方式是有放回还是不放回，以及两种抽取方式对样本点总数的影响。

16. [2020·全国卷Ⅰ]设 $ O $ 为正方形 $ ABCD $ 的中心，在 $ O,A,B,C,D $ 中任取 3 点，则取到的 3 点共线的概率为(A)

A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{2}{5}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{4}{5}$

答案： 16. A
【解析】从$O,A,B,C,D$这5个点中任取3个点的情况有$\{O,A,B\}$，$\{O,A,C\}$，$\{O,A,D\}$，$\{O,B,C\}$，$\{O,B,D\}$，$\{O,C,D\}$，$\{A,B,C\}$，$\{A,B,D\}$，$\{A,C,D\}$，$\{B,C,D\}$，共10种，其中3点共线的情况有$\{A,O,C\}$与$\{B,O,D\}$两种，由古典概型的概率计算公式知，任取3个点共线的概率为$\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$。故选A。

17. [2021·全国甲卷]将 3 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为(C)

A.0.3
B.0.5
C.0.6
D.0.8

答案： 17. C
【解析】将3个1和2个0随机排成一行，可以是：$00111$，$01011$，$01101$，$01110$，$10011$，$10101$，$10110$，$11001$，$11010$，$11100$，共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：$01011$，$01101$，$01110$，$10101$，$10110$，$11010$，共6种方法，故2个0不相邻的概率为$\frac{6}{10} = 0.6$。选C。

18. [2020·天津高考]已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{1}{3}$.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为$\boldsymbol{\frac{1}{6}}$；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为$\boldsymbol{\frac{2}{3}}$.

答案： 18. $\boldsymbol{\frac{1}{6}}$ $\boldsymbol{\frac{2}{3}}$
【解析】设“甲、乙两球都落入盒子”为事件$A$，则$P(A) = \frac{1}{2}×\frac{1}{3} = \frac{1}{6}$。设“甲、乙两球至少有一个落入盒子”为事件$B$，则$P(B) = 1 - \left(1 - \frac{1}{2}\right)\left(1 - \frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3}$。

19. [2019·全国卷Ⅰ]甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 $ 4:1 $ 获胜的概率是0.18.

答案： 19. 0.18
【解析】甲队要以$4:1$获胜，前四场比赛甲肯定要输一场（第五场甲胜），当前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以$4:1$获胜的概率是$0.6^{3}×0.5×0.5×2 = 0.108$，当前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以$4:1$获胜的概率是$0.4×0.6^{2}×0.5^{2}×2 = 0.072$，综上所述，甲队以$4:1$获胜的概率是$p = 0.108 + 0.072 = 0.18$。

20. [2021·全国乙卷]某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 $ \overline{x} $ 和 $ \overline{y} $，样本方差分别记为 $ s_1^2 $ 和 $ s_2^2 $.
(1)求 $ \overline{x},\overline{y},s_1^2,s_2^2 $；
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（若 $ \overline{y} - \overline{x} \geq 2\sqrt{\frac{s_1^2 + s_2^2}{10}} $，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.

答案： 20. 【解】
(1) $\overline{x} = \frac{1}{10}(9.8 + 10.3 + 10.0 + 10.2 + 9.9 + 9.8 + 10.0 + 10.1 + 10.2 + 9.7) = 10$，
$\overline{y} = \frac{1}{10}(10.1 + 10.4 + 10.1 + 10.0 + 10.1 + 10.3 + 10.6 + 10.5 + 10.4 + 10.5) = 10.3$，
$s^{2}_{1} = \frac{1}{10}(0.2^{2} + 0.3^{2} + 0 + 0.2^{2} + 0.1^{2} + 0.2^{2} + 0 + 0.1^{2} + 0.2^{2} + 0.3^{2}) = 0.036$，
$s^{2}_{2} = \frac{1}{10}(0.2^{2} + 0.1^{2} + 0.2^{2} + 0.3^{2} + 0.2^{2} + 0 + 0.3^{2} + 0.2^{2} + 0.1^{2} + 0.2^{2}) = 0.04$。
(2) 依题意，$\overline{y} - \overline{x} = 0.3 = 2×0.15 = 2\sqrt{0.15^{2}} = 2\sqrt{0.0225}$，
$2\sqrt{\frac{0.036 + 0.04}{10}} = 2\sqrt{0.0076}$，所以$\overline{y} - \overline{x} \geq 2\sqrt{\frac{s^{2}_{1} + s^{2}_{2}}{10}}$成立，所以认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。