《2025年练习生高中数学必修第二册人教B版》

16. [2022·四川凉山高二期末]2021 年国务院政府工作报告中指出,扎实做好碳达峰、碳中和各项工作,制定 2030 年前碳排放达峰行动方案,优化产业结构和能源结构. 汽车行业是碳排放量比较大的行业之一,若现对 $CO_2$ 排放量超过 130 g/km 的 MI 型新车进行惩罚(视为排放量超标),某检测单位对甲、乙两类 MI 型品牌的新车各抽取了 5 辆进行 $CO_2$ 排放量检测,记录如下(单位:g/km):

经测算发现,乙类品牌车 $CO_2$ 排放量的均值为 $\overline{x}_{乙} = 120$ g/km.
(1)求甲类品牌汽车的排放量的平均值及方差;
(2)若乙类品牌汽车比甲类品牌汽车 $CO_2$ 的排放量稳定性好,求 x 的取值范围.

答案： 16.【解】
(1)甲类品牌汽车的$CO_{2}$排放量的平均值$\overline{x}_{甲}=\frac{1}{5}×(80 + 110 + 120 + 140 + 150)=120(g/km)$，
甲类品牌汽车的$CO_{2}$排放量的方差$s_{甲}^{2}=\frac{1}{5}×[(80 - 120)^{2}+(110 - 120)^{2}+(120 - 120)^{2}+(140 - 120)^{2}+(150 - 120)^{2}]=600$。
(2)由题意知，乙类品牌汽车的$CO_{2}$排放量的平均值$\overline{x}_{乙}=\frac{1}{5}×(100 + 120 + x + y + 160)=120$，
则$x + y = 220$，所以$y = 220 - x$，
所以乙类品牌汽车的$CO_{2}$排放量的方差$s_{乙}^{2}=\frac{1}{5}[(100 - 120)^{2}+(120 - 120)^{2}+(x - 120)^{2}+(220 - x - 120)^{2}+(160 - 120)^{2}]$。
因为乙类品牌汽车比甲类品牌汽车$CO_{2}$的排放量稳定性好，所以$s_{乙}^{2}\lt s_{甲}^{2}$，
则$\frac{1}{5}[(100 - 120)^{2}+(120 - 120)^{2}+(x - 120)^{2}+(220 - x - 120)^{2}+(160 - 120)^{2}]\lt600$，
解得$90\lt x\lt130$。

17. [2022·河北保定高一期末]已知甲工厂生产一种内径为 36.5 mm 的零件,为了解零件的生产质量,从该厂的 2000 件零件中抽出 100 件,测得其内径尺寸如下(单位:mm):
36.2×16,36.6×12,36.3×12,36.4×12,36.5×20,36.7×12,36.8×16. 注:$x×n$ 表示有 n 件尺寸为 x mm 的零件.
(1)求这 100 件零件内径尺寸的平均数 $\overline{x}$;
(2)设这 100 件零件内径尺寸的方差为 $s^2$,试估计该厂 2000 件零件中其内径尺寸(单位:mm)在 $(\overline{x} - s,\overline{x} + 0.5s)$ 内的件数;
(3)若乙工厂也生产同种零件,为了了解零件的生产质量,从该厂的 2000 件零件中抽出 100 件,测得其内径(单位:mm)的方差为 0.0405,试比较甲、乙两工厂抽检的 100 件零件内径尺寸的稳定性.

答案： 17.【解】
(1)$\overline{x}=\frac{1}{100}[(36.2 + 36.8)×16+(36.6 + 36.4)×12+(36.3 + 36.7)×12 + 36.5×20]=36.5$。
(2)因为$\vert36.2 - 36.5\vert=\vert36.8 - 36.5\vert=0.3$，$\vert36.6 - 36.5\vert=\vert36.4 - 36.5\vert=0.1$，$\vert36.3 - 36.5\vert=\vert36.7 - 36.5\vert=0.2$，$\vert36.5 - 36.5\vert=0$，
所以$s^{2}=\frac{1}{100}(0.3^{2}×16×2 + 0.1^{2}×12×2 + 0.2^{2}×12×2)=0.0408$，
则$s = \sqrt{0.0408}\in(0.2,0.21)$，
所以$(\overline{x}-s,\overline{x}+0.5s)\in(36.29,36.605)$，
故1件零件内径尺寸在$(\overline{x}-s,\overline{x}+0.5s)$内的频率为$\frac{12 + 12 + 20 + 12}{100}=0.56$，
因而估计该厂2000件零件中其内径尺寸在$(\overline{x}-s,\overline{x}+0.5s)$内的件数为$2000×0.56 = 1120$。
(3)因为甲工厂抽检的100个零件内径尺寸的方差$0.0408\gt0.0405$，
所以乙工厂抽检的100件零件内径尺寸的稳定性更好。