《2025年同步练习册人民教育出版社九年级数学上册人教版新疆用》

1. 若等腰三角形的两边长是方程 $ x^{2}-4x + 3 = 0 $ 的两个根,则此三角形的周长为(B).
A.5
B.7
C.5 或 7
D.以上都不对

答案： B

2. 下列关于 $ x $ 的一元二次方程中,有两个相等实数根的是(D).
A.$ x^{2}+1 = 0 $
B.$ x^{2}+x - 1 = 0 $
C.$ x^{2}+2x - 3 = 0 $
D.$ 4x^{2}-4x + 1 = 0 $

答案： D

3. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-2x + k = 0 $ 有两个不相等的实数根,则 $ k $ 的取值范围是(A).
A.$ k ＜ 1 $
B.$ k \leq 1 $
C.$ k ＞ -1 $
D.$ k ＞ 1 $

答案： A

4. 若 $ x^{2}+3x - 9 $ 与 $ 2x - 5 $ 互为相反数,则 $ x $ 的值为2或-7.

答案： 2或-7

5. 不解方程,判断方程根的情况：
(1) $ 3x^{2}+x - 1 = 0 $；
(2) $ x^{2}+4 = 4x $；
(3) $ 2x^{2}+6 = 3x $；
(4) $ 2x(x+\sqrt{2}) = -1 $.

答案： 1. 对于方程$3x^{2}+x - 1 = 0$：
这里$a = 3$，$b = 1$，$c=-1$。
根据判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，可得$\Delta = 1^{2}-4×3×(-1)$
先计算$1^{2}=1$，$4×3×(-1)=-12$。
则$\Delta = 1-(-12)=1 + 12=13$。
因为$\Delta=13\gt0$，所以方程有两个不相等的实数根。
2. 对于方程$x^{2}+4 = 4x$：
移项化为一般形式$x^{2}-4x + 4 = 0$，此时$a = 1$，$b=-4$，$c = 4$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4×1×4$。
先算$(-4)^{2}=16$，$4×1×4 = 16$。
则$\Delta=16 - 16=0$。
所以方程有两个相等的实数根。
3. 对于方程$2x^{2}+6 = 3x$：
移项化为一般形式$2x^{2}-3x + 6 = 0$，这里$a = 2$，$b=-3$，$c = 6$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4×2×6$。
先算$(-3)^{2}=9$，$4×2×6 = 48$。
则$\Delta=9 - 48=-39$。
因为$\Delta=-39\lt0$，所以方程没有实数根。
4. 对于方程$2x(x+\sqrt{2})=-1$：
展开得$2x^{2}+2\sqrt{2}x+1 = 0$，此时$a = 2$，$b = 2\sqrt{2}$，$c = 1$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(2\sqrt{2})^{2}-4×2×1$。
先算$(2\sqrt{2})^{2}=8$，$4×2×1 = 8$。
则$\Delta=8 - 8=0$。
所以方程有两个相等的实数根。
综上，（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根；（4）方程有两个相等的实数根。

6. 用公式法解方程：
(1) $ x^{2}+x - 6 = 0 $；
(2) $ x^{2}-\sqrt{3}x - \frac{1}{4} = 0 $；
(3) $ 3x^{2}-6x + 2 = 0 $；
(4) $ 4x^{2}-6x = 0 $.

答案： $(1)$ $x^{2}+x - 6 = 0$
解：对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（$a\neq0$），其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
在方程$x^{2}+x - 6 = 0$中，$a = 1$，$b = 1$，$c=-6$。
先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(1)^{2}-4×1×(-6)=1 + 24 = 25$。
将$a$、$b$、$\Delta$的值代入求根公式可得：
$x=\frac{-1\pm\sqrt{25}}{2×1}=\frac{-1\pm5}{2}$。
当取$+$时，$x_{1}=\frac{-1 + 5}{2}=\frac{4}{2}=2$；
当取$-$时，$x_{2}=\frac{-1-5}{2}=\frac{-6}{2}=-3$。
$(2)$ $x^{2}-\sqrt{3}x-\frac{1}{4}=0$
解：在方程$x^{2}-\sqrt{3}x-\frac{1}{4}=0$中，$a = 1$，$b=-\sqrt{3}$，$c =-\frac{1}{4}$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-\sqrt{3})^{2}-4×1×(-\frac{1}{4})=3 + 1 = 4$。
将$a$、$b$、$\Delta$的值代入求根公式可得：
$x=\frac{-(-\sqrt{3})\pm\sqrt{4}}{2×1}=\frac{\sqrt{3}\pm2}{2}$。
即$x_{1}=\frac{\sqrt{3}+2}{2}$，$x_{2}=\frac{\sqrt{3}-2}{2}$。
$(3)$ $3x^{2}-6x + 2 = 0$
解：在方程$3x^{2}-6x + 2 = 0$中，$a = 3$，$b=-6$，$c = 2$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4×3×2=36-24 = 12$。
将$a$、$b$、$\Delta$的值代入求根公式可得：
$x=\frac{-(-6)\pm\sqrt{12}}{2×3}=\frac{6\pm2\sqrt{3}}{6}=\frac{3\pm\sqrt{3}}{3}$。
即$x_{1}=\frac{3+\sqrt{3}}{3}$，$x_{2}=\frac{3-\sqrt{3}}{3}$。
$(4)$ $4x^{2}-6x = 0$
解：在方程$4x^{2}-6x = 0$中，$a = 4$，$b=-6$，$c = 0$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4×4×0=36$。
将$a$、$b$、$\Delta$的值代入求根公式可得：
$x=\frac{-(-6)\pm\sqrt{36}}{2×4}=\frac{6\pm6}{8}$。
当取$+$时，$x_{1}=\frac{6 + 6}{8}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$；
当取$-$时，$x_{2}=\frac{6-6}{8}=0$。
综上，$(1)$ $x_{1}=2$，$x_{2}=-3$；$(2)$ $x_{1}=\frac{\sqrt{3}+2}{2}$，$x_{2}=\frac{\sqrt{3}-2}{2}$；$(3)$ $x_{1}=\frac{3+\sqrt{3}}{3}$，$x_{2}=\frac{3-\sqrt{3}}{3}$；$(4)$ $x_{1}=\frac{3}{2}$，$x_{2}=0$。