《2025年同步练习册人民教育出版社九年级数学上册人教版新疆用》

10. 如图,$AB是\odot O$的直径,$BC是\odot O$的切线,$OC与\odot O相交于点D$,连接$AD$,并延长交$BC于点E$,取$BE的中点F$,连接$DF$.
(1)若$BC = \sqrt{3}$,$CD = 1$,求$\odot O$的半径；
(2)试判断$DF与\odot O$的位置关系.

答案： $(1)$求$\odot O$的半径
解：设$\odot O$的半径为$r$。
因为$BC$是$\odot O$的切线，所以$\angle OBC = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle OBC$中，根据勾股定理$OB^{2}+BC^{2}=OC^{2}$，已知$BC = \sqrt{3}$，$CD = 1$，$OB = r$，$OC=r + 1$，则有：
$r^{2}+(\sqrt{3})^{2}=(r + 1)^{2}$
展开$(r + 1)^{2}$得$r^{2}+2r + 1$，则方程变为：
$r^{2}+3=r^{2}+2r + 1$
移项可得：$2r=3 - 1$
即$2r = 2$，解得$r = 1$。
$(2)$判断$DF$与$\odot O$的位置关系
连接$BD$，因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ADB=90^{\circ}$，则$\angle BDE = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle BDE$中，$F$是$BE$的中点，根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，所以$DF = BF$，则$\angle FDB=\angle FBD$。
因为$OB = OD$，所以$\angle ODB=\angle OBD$。
又因为$\angle OBC = 90^{\circ}$（$BC$是切线），即$\angle OBD+\angle FBD=90^{\circ}$。
所以$\angle ODB+\angle FDB = 90^{\circ}$，即$\angle ODF = 90^{\circ}$。
因为$OD$是$\odot O$的半径，且$\angle ODF = 90^{\circ}$，所以$DF$与$\odot O$相切。
综上，$(1)$$\odot O$的半径为$\boldsymbol{1}$；$(2)$$DF$与$\odot O$ 相切。

1. 下列说法正确的是(B).

A.与圆有公共点的直线是圆的切线
B.到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线
C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D.过圆的半径外端的直线是圆的切线

答案： B

2. 如图,$AB与\odot O相切于点C$,$OA = OB$,若$\odot O的直径为8\mathrm{cm}$,$AB = 10\mathrm{cm}$,则$OA$的长为(A).

A.$\sqrt{41}\mathrm{cm}$
B.$2\sqrt{10}\mathrm{cm}$
C.$\sqrt{14}\mathrm{cm}$
D.$2\sqrt{15}\mathrm{cm}$

答案： A

3. 如图,若$\odot O的直径AB与弦AC的夹角为30^{\circ}$,切线$CD与AB的延长线交于点D$,且$\odot O的半径为2$,则$CD$的长为(A).
A.$2\sqrt{3}$
B.$4\sqrt{3}$
C.$2$
D.$4$

答案： A

4. 如图,若$AB切\odot O于点C$,$AO交\odot O于点D$,$AO的延长线交\odot O于点E$,$\angle A = 40^{\circ}$,则$\overset{\frown}{EC}$所对的圆心角的度数为$130^{\circ}$.
]

答案： $130^{\circ}$

5. 如图,$PA是\odot O$的切线,切点为$A$,$PA = 3$,$\angle APO = 30^{\circ}$,则$OP = $$2\sqrt{3}$.

答案： $2\sqrt{3}$