《2025年同步练习册人民教育出版社九年级数学上册人教版新疆用》

5. 已知直线 $ y = kx + b $ 经过点 $ A(2, 0) $,且与抛物线 $ y = ax^2 $ 相交于 $ B $,$ C $ 两点,点 $ C $ 的坐标为(1,1).
(1)求直线和抛物线的函数解析式；
(2)若抛物线上有一点 $ D $(点 $ D $ 在 $ y $ 轴右侧),使 $ S_{\triangle OAD} = S_{\triangle OBC} $,求点 $ D $ 的坐标.

答案：

$解：(1)将点(2，0)、(1，1)代入y=kx+b可得$

$\begin{cases}2k+b=0\\k+b=1\end{cases} 解得\begin{cases}k=-1\\b=2\end{cases}$

$∴y=-x+2$

$将点(1，1)代入y=ax^2可得a=1$

$∴y=x^2$

$(2)令-x+2=x^2$

$x_{1}=1，x_{2}=-2$

$∴B(-2，4)$

$S_{△OAD}=\frac 12×2×y_D$

$S_{△OBC}=\frac 12×(1+4)×(1+2)-$

$(\frac 12×2×4+\frac 12×1×1)=3$

$∴\frac 12×2×y_D=3$

$∴y_D=3$

$则x^2=3，x=±\sqrt {3}$

$∵点D在y轴的右侧$

$∴x=\sqrt {3}$

$∴D(\sqrt {3}，3)$

6. 如图,已知抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $($ a \neq 0 $)的对称轴为直线 $ x = - 1 $,且抛物线经过 $ A(1, 0) $,$ C(0, 3) $ 两点,与 $ x $ 轴的另一个交点为 $ B $.
(1)若直线 $ y = mx + n $ 经过 $ B $,$ C $ 两点,求直线 $ BC $ 和抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴 $ x = - 1 $ 上找一点 $ M $,使点 $ M $ 到点 $ A $ 的距离与到点 $ C $ 的距离之和最小,求出点 $ M $ 的坐标.

答案：

$解：(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)^2+k$

$将点(1，0)、(0，3)代入可得$

$\begin{cases}4a+k=0\\a+k=3\end{cases} 解得\begin{cases}a=-1\\k=4\end{cases}$

$∴y=-(x+1)^2+4=-x^2-2x+3$

$令y=0，-x^2-2x+3=0$

$x_{1}=1，x_{2}=-3$

$∴B(-3，0)$

$将点(-3，0)、(0，3)代入y=mx+n可得$

$\begin{cases}-3m+n=0\\n=3\end{cases} 解得\begin{cases}m=1\\n=3\end{cases}$

$∴y=x+3$

$(2)设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，$

$此时MA+MC的值最小$

$令x=-1，y=x+3=2$

$∴M(-1，2)$