《2025年同步练习册人民教育出版社九年级数学上册人教版新疆用》

2. 有一座抛物线形拱桥,其最大高度为 $ 9 \, m $,现把它的示意图放在平面直角坐标系中,如图所示,此抛物线的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{25}x^{2}+\dfrac{6}{5}x$,其中自变量 $ x $ 的取值范围是$0\leqslant x\leqslant 30$。

答案： $y=-\dfrac{1}{25}x^{2}+\dfrac{6}{5}x$ $0\leqslant x\leqslant 30$

3. 一抛物线形桥洞的示意图如图所示,当水面在 $ AB $ 时,宽为 $ 4\sqrt{6} \, m $,当水面上升 $ 3 \, m $ 到达 $ CD $ 时,水面宽为 $ 4\sqrt{3} \, m $。若水面以 $ 0.25 \, m/h $ 的速度上升,则再过12$ h $ 可到达桥洞顶部。

答案： 12

4. 某体育用品店购进一批滑板,每件进价 $ 100 $ 元,售价 $ 130 $ 元,每星期可卖出 $ 80 $ 件,商家决定降价促销,根据市场调查,每降价 $ 5 $ 元,每星期可多卖出 $ 20 $ 件。
(1) 求商家降价前每星期的销售利润；
(2) 降价后,商家要使每星期的销售利润最大,应将售价定为多少钱？最大销售利润是多少？

答案：

$解：(1)(130-100)×80=2400(元)$

$∴商家降价前每星期的销售利润为2400元$

$(2)设应将售价定为x元$

$则销售利润y=(x-100)(80+\frac {130-x}{5}×20)$

$=-4x^2+1000x-60000$

$=-4(x-125)^2+2500$

$当x=125时，y有最大值2500$

$∴应将售价定为125元，最大销售利润是2500元$

5. 如图,正方形 $ EFGH $ 的顶点在边长为 $ a $ 的正方形 $ ABCD $ 的边上,若 $ AE = x $,正方形 $ EFGH $ 的面积为 $ y $。
(1) 求出 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式；
(2) 正方形 $ EFGH $ 有没有最小面积？若有,试确定点 $ E $ 的位置；若没有,试说明理由。

答案：

$解：(1)∵AE=x，AB=a$

$∴BE=a-x$

$y=a^2-4×x×(a-x)×\frac 12$

$∴y=2x^2-2ax+a^2$

$(2)有最小面积$

$y=2x^2-2ax+a^2$

$当x=-\frac {b}{2a}=\frac a{2}时，取最小值$

$此时点E处于AB的中点$