《2025年同步练习册人民教育出版社九年级数学上册人教版新疆用》

14. 如果让你去解方程 $ y^{2}-5y+4= 0 $,相信你一定可以很容易地完成。那么对于方程 $ (x^{2}-1)^{2}-5(x^{2}-1)+4= 0 $,我们该如何去解呢？
我们不妨将 $ x^{2}-1 $ 视为一个整体,然后设 $ x^{2}-1= y $,
则有 $ (x^{2}-1)^{2}= y^{2} $,
从而将原方程转化为 $ y^{2}-5y+4= 0 $。①
解得 $ y_{1}= 1 $,$ y_{2}= 4 $。
当 $ y= 1 $ 时,$ x^{2}-1= 1 $,
所以 $ x^{2}= 2 $,$ x= \pm \sqrt{2} $；
当 $ y= 4 $ 时,$ x^{2}-1= 4 $,
所以 $ x^{2}= 5 $,$ x= \pm \sqrt{5} $。
所以原方程的解为 $ x_{1}= \sqrt{2} $,$ x_{2}= -\sqrt{2} $,$ x_{3}= \sqrt{5} $,$ x_{4}= -\sqrt{5} $。
问题：
(1) 在由原方程得到方程①的过程中,利用______法达到降次的目的,体现了______的数学思想；
(2) 解方程：$ (x^{2}+x)(x^{2}+x-2)= -1 $。
(1) 换元 转化
(2) 解：设$x^2+x=y$
则方程可转化为$y(y-2)=-1$
$y^2-2y+1=0$
$(y-1)^2=0$
$y_{1}=y_{2}=1$
$∴x^2+x=1$
$x^2+x-1=0$
$△=1^2-4×1×(-1)=5＞0$
$x=\frac {-1±\sqrt {5}}{1×2}$
$x_1=\frac {-1+\sqrt {5}}2 ，x_2=\frac {-1-\sqrt {5}}2$

答案：
(1)换元 转化；
(2)$解：设x^2+x=y$$则方程可转化为y(y-2)=-1$
$y^2-2y+1=0$
$(y-1)^2=0$
$y_{1}=y_{2}=1$
$∴x^2+x=1$
$x^2+x-1=0$
$△=1^1-4×1×(-1)=5＞0$
$x=\frac {-1±\sqrt {5}}{1×2}$
$x_1=\frac {-1+\sqrt {5}}2 ，x_2=\frac {-1-\sqrt {5}}2$

1. 方程 $2x^{2}= x$ 的解为(C).
A.$x= \frac{1}{2}$
B.$x= 0$
C.$x_{1}= 0$,$x_{2}= \frac{1}{2}$
D.$x= -\frac{1}{2}$

答案： C

2. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+px - 2 = 0$ 的一个根为 $2$,则另一个根为(C).
A.$1$
B.$2$
C.$-1$
D.$-2$

答案： C

3. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+px + q = 0$ 的两根分别为 $x_{1}= 3$,$x_{2}= 1$,则这个一元二次方程是(B).
A.$x^{2}+3x + 4 = 0$
B.$x^{2}-4x + 3 = 0$
C.$x^{2}+4x - 3 = 0$
D.$x^{2}+3x - 4 = 0$

答案： B