《2025年同步练习册人民教育出版社九年级数学上册人教版新疆用》

4. 蔬菜基地种植某种蔬菜,由市场行情分析知,$ 1 - 6 $ 月份这种蔬菜的上市时间 $ x $(单位：月)与市场售价 $ P $(单位：元/$ kg $)的关系如下表。这种蔬菜的种植成本 $ y $(单位：元/$ kg $)与上市时间 $ x $ 满足一个函数关系,这个函数的图象是图中抛物线的一段。

(1) 写出上表中的市场售价 $ P $ 关于上市时间 $ x $ 的函数解析式；
(2) 若图中抛物线过 $ A $,$ B $,$ C $ 三点,写出抛物线对应的函数解析式；
(3) 由以上信息分析,每千克蔬菜在哪个月上市出售收益最大？最大收益是多少？(收益 $ = $ 市场售价 $ - $ 种植成本)

答案：

$解：(1)设p=kx+b$

$将点(2，9)、(6，3)代入可得$

$\begin{cases}2k+b=9\\6k+b=3\end{cases} 解得\begin{cases}k=-\dfrac 32\\b=12\end{cases}$

$∴P=-\frac 32x+12$

$(2)设y=a(x-6)^2+2$

$将点(4，3)代入可得4a+2=3，a=\frac 14$

$∴y=\frac 14(x-6)^2+2=\frac 14x^2-3x+11$

$(3)设收益为M$

$M=P-y=-\frac 32x+12-\frac 14x^2+3x-11$

$∴M=-\frac 14x^2+\frac 32x+1=-\frac 14(x-3)^2+\frac {13}{4}$

$∴当x=3时，M取得最大值为\frac {13}{4}$

$答：3月上市出售这种蔬菜每千克收益最大，最大收益为\frac {13}{4}元/千克。$

5. 有一座抛物线形拱桥,正常水位时,桥下水面宽度为 $ 20 \, m $,拱顶距离水面 $ 4 \, m $。
(1) 如图所示,在平面直角坐标系中,求该抛物线的函数解析式；
(2) 在正常水位的基础上,当水位上升 $ h $(单位：$ m $)时,桥下水面的宽度为 $ d $(单位：$ m $),求 $ d $ 关于 $ h $ 的函数解析式；
(3) 设正常水位时,桥下的水深为 $ 2 \, m $,为保证过往船只顺利航行,桥下水面宽度不得小于 $ 18 \, m $,求水深超过多少米时,会影响过往船只在桥下顺利航行？

答案：

$解：(1)设二次函数解析式为y=ax^2$

$将点(10，-4)代入，得-4=100a$

$解得a=-\frac {1}{25}$

$因此二次函数解析式为y=-\frac {1}{25}x^2$

$(2)把点(\frac {d}{2}，-4+h)代入函数解析式$

$y=-\frac {1}{25}x^2得h=4-\frac {1}{100}d^2$

$∴d=10\sqrt{4-h}$

$(3)当桥下水面的宽度等于18m时，抛物线上$

$第四象限点的横坐标为9，把x=9代入$

$函数解析式y=-\frac {1}{25}x^2$

$∴y=-\frac {1}{25}×9^2=-\frac {81}{25}(米)$

$∴4+2-\frac {81}{25}=\frac {69}{25}=2.76$

$答：当水深超过2.76米时，就会影响过往$

$船只在桥下顺利航行。$