《2025年同步练习册人民教育出版社九年级数学上册人教版新疆用》

11. 已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 的图象过点 $ C(0, \frac{3}{5}) $,与 $ x $ 轴交于两点 $ A(x_{1}, 0) $,$ B(x_{2}, 0) $,$ x_{1} ＜ x_{2} $,且 $ x_{1} $,$ x_{2} $ 是方程 $ x^{2} - 4x - 5 = 0 $ 的两个根.
(1) 求 $ A $,$ B $ 两点的坐标；
(2) 求二次函数的解析式及图象的顶点 $ P $ 的坐标.

答案：

$解：(1)x^2-4x-5=0$

$(x-5)(x+1)=0$

$x_1= -1 ，x_2=5$

$∴A(-1，0)、B(5，0)$

$(2)设y=a(x+1)(x-5)$

$将点(0，\frac 35)代入可解得a=-\frac {3}{25}$

$∴y=-\frac {3}{25}(x+1)(x-5)=-\frac {3}{25}(x-2)^2+\frac {27}{25}$

$则顶点P(2，\frac {27}{25})$

12. 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,抛物线 $ y = ax^{2} + bx + 2 $ 过 $ B(-2, 6) $,$ C(2, 2) $ 两点.
(1) 试求抛物线的解析式；
(2) 记抛物线顶点为 $ D $,求 $ \triangle BCD $ 的面积.

答案：

$解：(1)将点B(-2，6)、C(2，2)代入可得$

$\begin{cases}4a-2b+2=6\\4a+2b+2=2\end{cases} 解得\begin{cases}a=\dfrac 12\\b=-1\end{cases}$

$∴y=\frac 12x^2-x+2$

$(2)y=\frac 12(x-1)^2+\frac 32$

$∴D(1，\frac 32)$

$S_{△BCD}=4×\frac {9}{2}-\frac 12×3×\frac {9}{2}-\frac 12×1×\frac 12-\frac 12×4×4$

$∴S_{△BCD}=3$

13. 如图,二次函数 $ y = x^{2} + bx + c $ 的图象经过点 $ M(1, -2) $,$ N(-1, 6) $.
(1) 求二次函数 $ y = x^{2} + bx + c $ 的解析式；
(2) 把 $ Rt \triangle ABC $ 放在平面直角坐标系内,其中 $ \angle CAB = 90^{\circ} $,点 $ A $,$ B $ 的坐标分别为 $ (1, 0) $,$ (4, 0) $,$ BC = 5 $,将 $ \triangle ABC $ 沿 $ x $ 轴向右平移,当点 $ C $ 落在抛物线上时,求 $ \triangle ABC $ 平移的距离.

答案：

$解：(1)将点(1，-2)、(-1，6)代入可得$

$\begin{cases}1+b+c=-2\\1-b+c=6\end{cases} 解得\begin{cases}b=-4\\c=1\end{cases}$

$∴y=x^2-4x+1$

$(2)∵A(1，0)、B(4，0)$

$∴AB=3$

$∵BC=5，∠CAB=90°$

$∴AC=\sqrt {BC^2-AB^2}=4$

$令y=4，x^2-4x+1=4$

$解得x_1=2+\sqrt {7} ，x_2=2-\sqrt {7}(舍去)$

$则平移的距离为2+\sqrt {7}-1=1+\sqrt {7}$

$∴△ABC平移的距离为(1+\sqrt {7})个单位长度$