《2025年同步练习册人民教育出版社九年级数学上册人教版新疆用》

9. 如图,四边形$ABCD为\odot O$的内接四边形,若$\angle BOD = 110^{\circ}$,则$\angle BAD = $$55°$,$\angle BCD = $$125°$.

答案： $55°$ $125°$

10. 如图,弦$AB把圆周分成1:2$两部分,已知$\odot O的半径为1$,求弦$AB$的长.

答案： $AB=\sqrt{3}$

11. 如图,$\odot O的直径CD经过弦EF的中点G$,$\angle EOD = 40^{\circ}$,求$\angle DCF$的度数.

答案： 解：
∵EF 的中点为 G，CD 为过点 G 的直径，
∴$\widehat{ED}=\widehat{DF}$．又$\angle EOD=40°$，
∴$\angle DCF=20°$．

12. 如图,$AB = AC$,$\angle APC = 60^{\circ}$.
(1) 求证：$\triangle ABC$是等边三角形；
(2) 若$BC = 4$,求$\odot O$的面积.

答案： （1）证明：
因为$\angle APC$与$\angle ABC$是同弧所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，所以$\angle ABC=\angle APC = 60^{\circ}$。
又因为$AB = AC$，根据有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形，所以$\triangle ABC$是等边三角形。
（2）解：
因为$\triangle ABC$是等边三角形，$BC = 4$，连接$OA$，$OC$，$\angle AOC = 2\angle ABC$（同弧所对的圆心角是圆周角的$2$倍），由$\angle ABC = 60^{\circ}$，可得$\angle AOC=120^{\circ}$。
过$O$作$OD\perp AC$于$D$，则$AD=\frac{1}{2}AC$（垂径定理），因为$AC = BC = 4$，所以$AD = 2$。
在$Rt\triangle AOD$中，$\angle AOD=\frac{1}{2}\angle AOC = 60^{\circ}$，$\sin\angle AOD=\frac{AD}{OA}$。
即$\sin60^{\circ}=\frac{AD}{OA}$，已知$\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$AD = 2$，则$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2}{OA}$，解得$OA=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。
根据圆的面积公式$S=\pi r^{2}$（$r$为半径），这里$r = OA$，所以$S=\pi×(\frac{4\sqrt{3}}{3})^{2}=\frac{16\pi}{3}$。