《2025年同步练习册人民教育出版社九年级数学上册人教版新疆用》

8. 如图,公园要建造圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个柱子 $ OA $,点 $ O $ 恰在水面中心,$ OA = 1.25 \, m $,由柱子顶端 $ A $ 处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在距离 $ OA $ $ 1 \, m $ 处达到距水面最大高度 $ 2.25 \, m $。
(1) 若不计其他因素,则水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不落到池外？
(2) 若水流喷出的抛物线形状与(1)相同,水池的半径为 $ 3.5 \, m $,要使喷出的水流不落到池外,则水流最大高度应达到多少米？

答案：

$解：(1)根据题意设抛物线的解析式为$

$y=a(x-1)^2+2.25(a≠0)$

$由抛物线过点(0，1.25)，解得a=-1$

$所以抛物线的解析式为y=-(x-1)^2+2.25$

$令y=0，得-(x-1)^2+2.25=0$

$解得x=2.5或x=-0.5(舍去)$

$所以水池半径至少为2.5m.$

$(2)设抛物线的解析式为y=-x^2+bx+c$

$把点(0，1.25)，(3.5，0)代入得\begin{cases}c=1.25\\-\dfrac {49}{4}+\dfrac {7}{2}b+c=0\end{cases}$

$解得\begin{cases}b=\dfrac {22}{7}\\c=\dfrac {5}{4}\end{cases}$

$∴y=-x^2+\frac {22}{7}x+\frac {5}{4}=-(x-\frac {11}{7})^2+\frac {729}{196}$

$∴水池的半径为3.5m，要使水流不落到池外，$

$此时水流最大高度应达\frac {729}{196}m$

1. 一个抛物线形门洞,以门洞底部所在直线为 $ x $ 轴建立平面直角坐标系,若抛物线所对应的函数解析式为 $ y = -2x^2 + 3 $,则 $ 2 \, m $ 高处的门洞宽为(D)。
A.$ 2 \, m $
B.$ 1 \, m $
C.$ \frac{\sqrt{2}}{2} \, m $
D.$ \sqrt{2} \, m $

答案： D

2. 一个工厂的抛物线形水泥建筑大门的示意图如图所示,大门的地面宽度为 $ 8 \, m $,两侧距地面 $ 3 \, m $ 高处各有一个壁灯,两壁灯之间的水平距离为 $ 6 \, m $,厂门的高为6.9$ m $。(水泥建筑物厚度忽略不计,精确到 $ 0.1 \, m $)
]

答案： 6.9

3. 炮弹从炮口射出后,飞行的高度 $ h $(单位：$ m $)与飞行的时间 $ t $(单位：$ s $)之间的关系为：$ h = \frac{1}{2}v_0t - 5t^2 $,其中 $ v_0 $ 是炮弹发射的初速度,当 $ v_0 = 300 \, m/s $ 时,炮弹飞行的最大高度为1125$ m $。

答案： 1 125