《2025年赢在暑假抢分计划八年级数学人教版》

例1 在△ABC中,AB= AC,AB的垂直平分线交AB于点D,交直线AC于点E,∠AEB= 80°,求∠EBC的度数。

答案：
【解析】：本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质。
首先，根据线段垂直平分线的性质，得出$AE = BE$，从而$\angle BAC = \angle ABE$。
然后，分两种情况讨论：
当$\angle BAC$为锐角时，利用三角形内角和为$180^\circ$的性质，求出$\angle ABC$，进而求出$\angle EBC$。
当$\angle BAC$为钝角时，同样利用三角形内角和为$180^\circ$的性质，但此时需要注意角度的分配，求出$\angle ABC$，进而求出$\angle EBC$。
最后，得出$\angle EBC$的两个可能值。
【答案】：解：当$\angle BAC$为锐角时,如图1,
∵$DE$垂直平分$AB$,
∴$AE = BE$,
∴$\angle BAC = \angle ABE$。
∵$\angle AEB = 80^\circ$,
∴$\angle BAC = \angle ABE = 50^\circ$。
∵$AB = AC$,
∴$\angle ABC =\frac{180^\circ - 50^\circ}{2} = 65^\circ$，
∴$\angle EBC = \angle ABC - \angle ABE = 15^\circ$；
当$\angle BAC$为钝角时,如图2,
∵$DE$垂直平分$AB$,
∴$AE = BE$,
∴$\angle BAE = \angle ABE$。
∵$\angle AEB = 80^\circ$,
∴$\angle BAE = \angle EBA = 50^\circ$。
∵$AB = AC$,
∴$\angle ABC = \angle ACB =\frac{180^\circ- \angle BAC }{2}=\frac{180^\circ- (180^\circ- 50^\circ)}{2}= 25^\circ$，
∴$\angle EBC = \angle EBA + \angle ABC = 75^\circ$。
∴$\angle EBC$的度数为$15^\circ$或$75^\circ$。

例2 如图,已知点P是射线ON上一动点(即点P可在射线ON上运动),∠AON= 45°,当∠A= ______时,△AOP为等腰三角形。

$45^\circ$或$67.5^\circ$或$90^\circ$

答案： 【解析】：
本题主要考查等腰三角形的性质。
由于等腰$\bigtriangleup AOP$的腰与底不确定，
因此需要分三种情况讨论：
当$AO=AP$时：
因为$AO=AP$，
所以$\angle APO=\angle AOP=45^\circ$，
根据三角形内角和为$180^\circ$，
可得：$\angle A=180^\circ-45^\circ-45^\circ=90^\circ$。
当$AO=OP$时：
因为$AO=OP$，
所以$\angle A=\angle APO$，
根据三角形内角和为$180^\circ$，以及$\angle AOP=45^\circ$，
可得：$\angle A=\frac{1}{2}×(180^\circ-45^\circ)=67.5^\circ$。
当$OP=AP$时：
因为$OP=AP$，
所以$\angle A=\angle AON=45^\circ$。
综上所述，当$\angle A$为$45^\circ$，$67.5^\circ$或$90^\circ$时，$\bigtriangleup AOP$为等腰三角形。
【答案】：
$45^\circ$或$67.5^\circ$或$90^\circ$。