《2025年赢在暑假抢分计划八年级数学人教版》

12.(宁波)定义一种新运算：对于任意的非零实数a,b,$a*b= \frac {1}{a}+\frac {1}{b}$.若$(x+1)*x= \frac {2x+1}{x}$,则x的值为____$-\frac{1}{2}$.

答案： 解：由新运算定义可得，$(x + 1)*x=\frac{1}{x + 1}+\frac{1}{x}$。
已知$(x + 1)*x=\frac{2x + 1}{x}$，则$\frac{1}{x + 1}+\frac{1}{x}=\frac{2x + 1}{x}$。
方程两边同乘$x(x + 1)$去分母得：$x+(x + 1)=(2x + 1)(x + 1)$。
展开右边得：$x + x + 1=2x^{2}+2x + x + 1$。
化简左边：$2x + 1$；右边：$2x^{2}+3x + 1$。
移项得：$2x^{2}+3x + 1 - 2x - 1=0$，即$2x^{2}+x=0$。
提取公因式$x$得：$x(2x + 1)=0$。
解得$x = 0$或$2x + 1=0$，即$x = 0$或$x=-\frac{1}{2}$。
经检验，$x = 0$时，原方程分母为$0$，是增根，舍去。
所以$x=-\frac{1}{2}$。
$-\frac{1}{2}$

13.(齐齐哈尔)若关于x的分式方程$\frac {1}{x-2}+\frac {2}{x+2}= \frac {x+2m}{x^{2}-4}$的解大于1,则m的取值范围是$m＞0$且$m≠1$.

答案： 解：方程两边同乘$(x - 2)(x + 2)$，得$x + 2 + 2(x - 2) = x + 2m$。
去括号，得$x + 2 + 2x - 4 = x + 2m$。
移项、合并同类项，得$2x = 2m + 2$，解得$x = m + 1$。
因为分式方程的解大于$1$，所以$m + 1＞1$，解得$m＞0$。
又因为$x ≠ 2$且$x ≠ - 2$，所以$m + 1 ≠ 2$且$m + 1 ≠ - 2$，即$m ≠ 1$且$m ≠ - 3$。
因为$m＞0$，所以$m ≠ - 3$已满足。
综上，$m$的取值范围是$m＞0$且$m≠1$。

14. 已知$a+b+c= 0$,$abc≠0$,那么$a(\frac {1}{b}+\frac {1}{c})+b(\frac {1}{a}+\frac {1}{c})+c(\frac {1}{a}+\frac {1}{b})$的值为-3.

答案： 解：原式$=a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+b(\frac{1}{a}+\frac{1}{c})+c(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$
$=\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}$
$=(\frac{a}{b}+\frac{c}{b})+(\frac{a}{c}+\frac{b}{c})+(\frac{b}{a}+\frac{c}{a})$
$=\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}$
因为$a+b+c=0$，所以$a+c=-b$，$a+b=-c$，$b+c=-a$。
将其代入上式得：
$\frac{-b}{b}+\frac{-c}{c}+\frac{-a}{a}=-1-1-1=-3$
答案：-3

15.(9分)计算：
(1)(连云港)$\frac {1}{x-1}+\frac {x^{2}-3x}{x^{2}-1}$；
(2)$(\frac {ab^{2}}{c})^{2}\cdot (-\frac {c^{2}}{ab})^{3}÷(\frac {bc}{a})^{2}$；
(3)$(a-1+\frac {a+3}{a+2})÷\frac {a^{2}-1}{a+2}$.

答案：
(1)解:原式$=\frac{x+1+x^{2}-3x}{x^{2}-1}=\frac{x^{2}-2x+1}{(x+1)(x-1)}=\frac{(x-1)^{2}}{(x+1)(x-1)}=\frac{x-1}{x+1}$
(2)解:原式$=\frac{a^{2}b^{4}}{c^{2}}\cdot\left(-\frac{c^{6}}{a^{3}b^{3}}\right)\cdot\frac{a^{2}}{b^{2}c^{2}}=-\frac{a^{2}b^{4}\cdot c^{6}\cdot a^{2}}{c^{2}\cdot a^{3}b^{3}\cdot b^{2}c^{2}}=-\frac{a^{4}b^{4}c^{6}}{a^{3}b^{5}c^{4}}=-\frac{ac^{2}}{b}$
(3)解:原式$=\left[\frac{(a-1)(a+2)}{a+2}+\frac{a+3}{a+2}\right]\cdot\frac{a+2}{(a+1)(a-1)}=\frac{a^{2}+2a-a-2+a+3}{a+2}\cdot\frac{a+2}{(a+1)(a-1)}=\frac{a^{2}+2a+1}{a+2}\cdot\frac{a+2}{(a+1)(a-1)}=\frac{(a+1)^{2}}{(a+1)(a-1)}=\frac{a+1}{a-1}$

16.(8分)解方程：
(1)(宿迁)$\frac {2x}{x-2}= 1+\frac {1}{x-2}$；
(2)(苏州)$\frac {x}{x+1}+\frac {3}{x}= 1$.

答案：
(1)解：去分母，得$2x = x - 2 + 1$，解得$x = -1$，经检验$x = -1$是原方程的解，
∴原方程的解是$x = -1$；
(2)解：去分母，得$x^{2} + 3(x + 1) = x(x + 1)$，解得$x = -\frac{3}{2}$，经检验，$x = -\frac{3}{2}$是原方程的解，
∴原方程的解为$x = -\frac{3}{2}$.

17.(10分)(1)(荆州)先化简,再求值：$(\frac {a}{a^{2}-b^{2}}-\frac {1}{a+b})÷\frac {b}{a^{2}-2ab+b^{2}}$,其中$a= (\frac {1}{3})^{-1}$,$b= (-2024)^{0}$；
(2)先化简$(\frac {x^{2}}{x+2}-x+2)÷\frac {x^{2}-4}{x^{2}+4x+4}$,再从-2,0,2中选择合适的x值代入求值.

答案：
(1)解：原式$=[\frac{a}{(a+b)(a-b)}-\frac{1}{a+b}]\cdot\frac{(a-b)^2}{b}$
$=\frac{a-(a-b)}{(a+b)(a-b)}\cdot\frac{(a-b)^2}{b}$
$=\frac{b}{(a+b)(a-b)}\cdot\frac{(a-b)^2}{b}$
$=\frac{a-b}{a+b}$
$\because a=(\frac{1}{3})^{-1}=3$，$b=(-2024)^0=1$
$\therefore$原式$=\frac{3-1}{3+1}=\frac{1}{2}$
(2)解：原式$=[\frac{x^2}{x+2}-(x-2)]÷\frac{(x+2)(x-2)}{(x+2)^2}$
$=\frac{x^2-(x^2-4)}{x+2}\cdot\frac{(x+2)^2}{(x+2)(x-2)}$
$=\frac{4}{x+2}\cdot\frac{x+2}{x-2}$
$=\frac{4}{x-2}$
$\because x\neq\pm2$
$\therefore$取$x=0$
原式$=\frac{4}{0-2}=-2$

18.(7分)(自贡)学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学旅行活动,骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后,其余师生乘汽车出发,结果同时到达.已知汽车速度是自行车速度的3倍,求张老师骑车的速度.

答案： 解：设张老师骑车的速度为 $ x $ 千米/时，则汽车的速度为 $ 3x $ 千米/时。
根据题意，张老师骑自行车所用时间比汽车行驶时间多2小时，可列方程：
$\frac{45}{x} - 2 = \frac{45}{3x}$
解方程：
$\frac{45}{x} - \frac{45}{3x} = 2$
$\frac{135 - 45}{3x} = 2$
$\frac{90}{3x} = 2$
$\frac{30}{x} = 2$
$x = 15$
经检验，$ x = 15 $ 是原方程的解，且符合题意。
答：张老师骑车的速度是15千米/时。