《2025年赢在暑假抢分计划八年级数学人教版》

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$AB的垂直平分线交AB于点N$,交直线$BC于点M$。
(1)如图1,若$\angle A = 40^{\circ}$,求$\angle NMB$的大小；
(2)如图2,如果将(1)中$\angle A的度数改为70^{\circ}$,其余条件不变,再求$\angle NMB$的大小；
(3)你发现了什么规律？写出猜想并证明。

答案： 1. 解：
(1)
∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$(180°-∠A)=70°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴∠MNB=90°，
∴∠NMB=90°-∠ABC=90°-70°=20°；
(2)
∵AB=AC，∠A=70°，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$(180°-∠A)=55°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴∠MNB=90°，
∴∠NMB=90°-∠ABC=90°-55°=35°；
(3)猜想：∠NMB=$\frac{1}{2}$∠A。
证明：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$(180°-∠A)=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴∠MNB=90°，
∴∠NMB=90°-∠ABC=90°-(90°-$\frac{1}{2}$∠A)=$\frac{1}{2}$∠A。

2. (1)如图1,在四边形$ABCD$中,$AB = AD$,$\angle B = \angle D = 90^{\circ}$,$E$,$F分别是边BC$,$CD$上的点,且$\angle EAF = \frac{1}{2}\angle BAD$。求证：$EF = BE + FD$；
(2)如图2,将(1)中的条件“$\angle B = \angle D = 90^{\circ}$”改为“$\angle B + \angle D = 180^{\circ}$”,其他条件都不变,(1)中的结论是否仍然成立？(不必给出证明过程)
(3)如图3,在四边形$ABCD$中,$AB = AD$,$\angle B + \angle ADC = 180^{\circ}$,$E$,$F分别是边BC$,$CD$延长线上的点,且$\angle EAF = \frac{1}{2}\angle BAD$,请直接写出$EF$,$BE$,$FD$三者之间的数量关系。

答案：
2.
(1) 证明: 如图, 延长 EB 到点 G, 使 BG = DF, 连接 AG.
∵∠ABG = ∠ABC = ∠D = 90°, AB = AD,
∴△ABG ≌ △ADF(SAS),
∴AG = AF, ∠GAB = ∠DAF,
∴$∠GAB + ∠BAE = ∠DAF + ∠BAE = ∠EAF = \frac{1}{2}∠BAD, $
∴∠GAE = ∠EAF; 又
∵AE = AE,
∴△AEG ≌ △AEF(SAS),
∴EG = EF.
∵EG = BE + BG,
∴EF = BE + FD;
(2) 仍然成立;
(3) EF = BE - FD.