《2025年赢在暑假抢分计划八年级数学人教版》

19.(8分)如图,某学校有一块长为 $ ( 4 a + b ) $ 米,宽为 $ ( a + b ) $ 米的长方形地块,角上留有四个边长为 $ ( a - 2 b ) $ 米的小正方形空地,学校计划将阴影部分进行绿化。
(1)用含有 $ a $,$ b $ 的式子表示绿化的总面积；(结果写成最简形式)
(2)学校准备将该绿化工程承担给某绿化施工队,已知该施工队每天可绿化 $ 3 b $ 平方米,求该施工队多少天能完成绿化任务？(用含 $ a $,$ b $ 的式子表示)

答案：
(1)解：$S_{阴}=S_{长方形}-4S_{正方形}$
$=(4a + b)(a + b)-4(a - 2b)^2$
$=4a^2 + 4ab + ab + b^2-4(a^2 - 4ab + 4b^2)$
$=4a^2 + 5ab + b^2-4a^2 + 16ab - 16b^2$
$=21ab - 15b^2$
(2)解：$(21ab - 15b^2)÷3b$
$=21ab÷3b-15b^2÷3b$
$=7a - 5b$
答：该施工队完成绿化任务需要$(7a - 5b)$天。

20.(9分)某校“数学社团”活动中,研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法。但还有很多的多项式只用上述方法无法分解,如：“$ m ^ { 2 } - m n + 2 m - 2 n $”,细心观察这个式子就会发现,前两项可以提取公因式,后两项也可提取公因式,前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式,然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了。过程为：$ m ^ { 2 } - m n + 2 m - 2 n = ( m ^ { 2 } - m n ) + ( 2 m - 2 n ) = m ( m - n ) + 2 ( m - n ) = ( m - n ) ( m + 2 ) $。
“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”,请在这种方法的启发下,解决以下问题：
(1)分解因式：$ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 2 x y - 9 $；
(2)已知 $ m + n = 5 $,$ m - n = 1 $。求 $ m ^ { 2 } - n ^ { 2 } - 2 n + 2 m $ 的值；
(3)$ \triangle A B C $ 的三边 $ a $,$ b $,$ c $ 满足 $ a ^ { 2 } + a b + c ^ { 2 } - b c = 2 a c $,判断 $ \triangle A B C $ 的形状并说明理由。

答案：
(1) 原式$=(x^2 + y^2 - 2xy) - 9=(x - y)^2 - 9=(x - y + 3)(x - y - 3)$；
(2) 原式$=(m^2 - n^2)+(2m - 2n)=(m + n)(m - n)+2(m - n)=(m - n)(m + n + 2)$。
$\because m + n = 5$，$m - n = 1$，
$\therefore$ 原式$=1×(5 + 2)=7$；
(3)$\triangle ABC$是等腰三角形，理由如下：
$\because a^2 + ab + c^2 - bc = 2ac$，
$\therefore a^2 - 2ac + c^2 + ab - bc = 0$，
$\therefore (a - c)^2 + b(a - c)=0$，
$\therefore (a - c)(a - c + b)=0$。
$\because a$，$b$，$c$是$\triangle ABC$的三边，
$\therefore a + b - c ＞ 0$，即$a - c + b ＞ 0$，
$\therefore a - c = 0$，即$a = c$，
$\therefore \triangle ABC$是等腰三角形。