《2025年赢在暑假抢分计划八年级数学人教版》

例1 (安顺)估计$(2\sqrt {5}+5\sqrt {2})×\sqrt {\frac {1}{5}}$的值应在(B)
A.4和5之间
B.5和6之间
C.6和7之间
D.7和8之间

答案： 解：原式$=2\sqrt{5}×\sqrt{\frac{1}{5}} + 5\sqrt{2}×\sqrt{\frac{1}{5}}$
$=2\sqrt{5×\frac{1}{5}} + 5\sqrt{2×\frac{1}{5}}$
$=2\sqrt{1} + 5\sqrt{\frac{2}{5}}$
$=2 + 5×\frac{\sqrt{10}}{5}$
$=2 + \sqrt{10}$
$\because 3 ＜ \sqrt{10} ＜ 4$
$\therefore 5 ＜ 2 + \sqrt{10} ＜ 6$
B

例2 计算：
$(3\sqrt {18}+\frac {1}{5}\sqrt {50}-4\sqrt {\frac {1}{2}})÷\sqrt {32}$

答案： 【解析】：
此题考查二次根式的混合运算，需要先将括号内的各项二次根式化简为最简形式，然后合并同类项，最后进行除法运算。
首先，我们将括号内的各项二次根式化简：
$3\sqrt{18} = 3\sqrt{9 × 2} = 3 × 3\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$
$\frac{1}{5}\sqrt{50} = \frac{1}{5}\sqrt{25 × 2} = \frac{1}{5} × 5\sqrt{2} = \sqrt{2}$
$4\sqrt{\frac{1}{2}} = 4 × \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ （注意这里的负号在化简过程中不影响，因为我们是分别化简每一项）
然后，括号内的同类项合并：
$9\sqrt{2} + \sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$
接着，进行除法运算：
$8\sqrt{2} ÷ 4\sqrt{2} = 2$
【答案】：
解：原式$= (9\sqrt{2} + \sqrt{2} - 2\sqrt{2}) ÷ 4\sqrt{2}$
$= 8\sqrt{2} ÷ 4\sqrt{2}$
$= 2$

例3 (济宁)已知$a= 2+\sqrt {5}$,$b= 2-\sqrt {5}$,求代数式$a^{2}b+ab^{2}$的值。

答案： 解：
∵a=2+√5，b=2-√5，
∴a²b+ab²=ab(a+b)
=(2+√5)(2-√5)(2+√5+2-√5)
=(4-5)×4
=-1×4
=-4

例4 (陕西)若$a= \frac {1}{2-\sqrt {5}}$,$b= \frac {1}{2+\sqrt {5}}$,则$a+b+ab= $$-5$。

答案： 【解析】：
本题考查了二次根式的化简和代数式的合并。
首先，我们需要对给定的$a$和$b$进行分母有理化，即消去分母中的根号。
对于$a = \frac{1}{2 - \sqrt{5}}$，我们可以通过乘以共轭式$2 + \sqrt{5}$来有理化分母：
$a = \frac{1}{2 - \sqrt{5}} × \frac{2 + \sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}} = \frac{2 + \sqrt{5}}{(2 - \sqrt{5})(2 + \sqrt{5})} = \frac{2 + \sqrt{5}}{4 - 5} = - (2 + \sqrt{5})$
同理，对于$b = \frac{1}{2 + \sqrt{5}}$，我们乘以共轭式$2 - \sqrt{5}$来有理化分母：
$b = \frac{1}{2 + \sqrt{5}} × \frac{2 - \sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}} = \frac{2 - \sqrt{5}}{(2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5})} = \frac{2 - \sqrt{5}}{4 - 5} = - (2 - \sqrt{5})$
然后，我们计算$a + b + ab$：
$a + b = - (2 + \sqrt{5}) - (2 - \sqrt{5}) = - 4$
$ab = (- (2 + \sqrt{5})) × (- (2 - \sqrt{5})) = (2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5}) = 4 - 5 = - 1$
$a + b + ab = - 4 - 1 = - 5$
【答案】：
$- 5$