《2025年赢在暑假抢分计划八年级数学人教版》

19.(9分)阅读以下材料,并解答下列问题：
下列一组方程：①$x+\frac {2}{x}= 3$,②$x+\frac {6}{x}= 5$,③$x+\frac {12}{x}= 7$,…,小贤通过观察,发现了其中蕴含的规律,并顺利地求出了前三个方程的解,他的解答过程如下：
由①$x+\frac {1×2}{x}= 1+2得x= 1或x= 2$；由②$x+\frac {2×3}{x}= 2+3得x= 2或x= 3$；由③$x+\frac {3×4}{x}= 3+4得x= 3或x= 4$.
(1)若n为正整数,请直接写出第n个方程及其方程的解；
(2)若n为正整数,关于x的方程$x+\frac {n^{2}+n}{x+3}= 2n-2的一个解是x= 7$,求n的值.

答案：
(1) 第n个方程为$x+\frac{n(n+1)}{x}=2n+1$，方程的解为$x=n$或$x=n+1$；
(2) 方程$x+\frac{n^{2}+n}{x+3}=2n-2$整理得$x+3+\frac{n(n+1)}{x+3}=2n+1$。
因为第n个方程$x+\frac{n(n+1)}{x}=2n+1$的解为$x=n$或$x=n+1$，
所以$x+3=n$或$x+3=n+1$。
把$x=7$代入，得$7+3=n$或$7+3=n+1$，
即$n=10$或$n=9$，
则n的值为9或10。

20.(9分)东东玩具商店用500元购进一批悠悠球,很受中小学生欢迎,悠悠球很快售完,接着又用900元购进第二批这种悠悠球,所购数量是第一批数量的1.5倍,但每套进价多了5元.
(1)求第一批悠悠球每套的进价是多少元；
(2)如果这两批悠悠球每套售价相同,且全部售完后总利润不低于25%,那么每套悠悠球的售价至少是多少元？

答案：
(1) 解：设第一批悠悠球每套的进价是$x$元。
由题意得：$\frac{900}{x + 5}=1.5×\frac{500}{x}$
解得：$x = 25$
经检验，$x = 25$是原方程的解，且符合题意。
答：第一批悠悠球每套的进价是25元。
(2) 解：设每套悠悠球的售价为$y$元。
第一批购进数量：$500÷25 = 20$（套）
第二批购进数量：$20×1.5 = 30$（套）
总数量：$20 + 30 = 50$（套）
由题意得：$50y-500 - 900\geq(500 + 900)×25\%$
解得：$y\geq35$
答：每套悠悠球的售价至少是35元。