《2025年赢在暑假抢分计划八年级数学人教版》

10. 如图,在△ABC中,∠ACB= 90°,AC= BC,E是AC上一点,连接BE.若AB= 4√{2},BE= 5,求AE的长.

答案： 解：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=4√2，
由勾股定理得AC²+BC²=AB²，即2AC²=(4√2)²，
解得AC=4，
在Rt△BCE中，BC=4，BE=5，
由勾股定理得CE=√(BE²-BC²)=√(5²-4²)=3，
则AE=AC-CE=4-3=1。

11. (合肥期末)某船从港口A出发沿南偏东32°方向航行15海里到达B岛,然后沿某方向航行20海里到达C岛,最后沿某个方向航行了25海里回到港口A,判断此时△ABC的形状,该船从B岛出发到C是沿哪个方向航行的,请说明理由.

答案：
解：$\triangle ABC$是直角三角形，且$\angle ABC = 90^{\circ}$，该船从$B$岛出发到$C$是沿西偏南$32^{\circ}$方向航行的。理由：由题意，得$AB = 15$海里，$BC = 20$海里，$AC = 25$海里，$\because 15^2 + 20^2 = 25^2$，$\therefore \triangle ABC$为直角三角形，且$\angle ABC = 90^{\circ}$。如图，由题意，得$\angle BAD = 32^{\circ}$，$\angle ADB = 90^{\circ}$，$\therefore \angle ABD = 90^{\circ} - 32^{\circ} = 58^{\circ}$，$\therefore \angle CBD = 90^{\circ} - 58^{\circ} = 32^{\circ}$，故该船从$B$岛出发到$C$是沿西偏南$32^{\circ}$方向航行的。

12. 已知AB= 5,BC= 12,CD= 13,DA= 10,AB⊥BC,求四边形ABCD的面积.

答案：
解：如图，连接$AC$，过点$C$作$CE \perp AD$于点$E$。$\because AB \perp BC$，$\therefore \angle B = 90^{\circ}$，$\therefore AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13$。$\because CD = 13$，$\therefore AC = CD$。$\because CE \perp AD$，$AD = 10$，$\therefore AE = DE = 5$，$\angle AEC = 90^{\circ}$，$\therefore CE = \sqrt{AC^2 - AE^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12$，$\therefore S_{四边形ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} × 5 × 12 + \frac{1}{2} × 10 × 12 = 90$。

13. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,AC= 3,BC= 4,点E是边AB上一点.将△CEB沿直线CE折叠到△CEF,使点B与点F重合.当CF⊥AB时,求线段EB的长.

答案：
解：如图，取$CF$和$AB$的交点为$D$。$\because \angle ACB = 90^{\circ}$，$\therefore AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。$\because S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AB × CD = \frac{1}{2}AC × BC$，$\therefore CD = \frac{AC × BC}{AB} = \frac{12}{5}$，$\therefore FD = CF - CD = BC - CD = 4 - \frac{12}{5} = \frac{8}{5}$，$BD = \sqrt{BC^2 - CD^2} = \sqrt{4^2 - (\frac{12}{5})^2} = \frac{16}{5}$。设$BE = EF = x$，则$ED = \frac{16}{5} - x$。在$Rt\triangle EDF$中，$EF^2 = ED^2 + FD^2$，$\therefore x^2 = (\frac{16}{5} - x)^2 + (\frac{8}{5})^2$，解得$x = 2$，即$EB = 2$。