《2025年赢在暑假抢分计划八年级数学人教版》

16. (随州)已知m为正整数,若$\sqrt {189m}$是整数,则根据$\sqrt {189m}= \sqrt {3×3×3×7m}= 3\sqrt {3×7m}$可知m有最小值$3×7= 21$.设n为正整数,若$\sqrt {\frac {300}{n}}$是大于1的整数,则n的最小值为3,最大值为75.

答案： $\sqrt{\frac{300}{n}}=\sqrt{\frac{100×3}{n}}=10\sqrt{\frac{3}{n}}$，因为$\sqrt{\frac{300}{n}}$是大于1的整数，所以$\sqrt{\frac{3}{n}}$必为分数形式且分母为完全平方数，设$\sqrt{\frac{3}{n}}=\frac{k}{m}$（$k$、$m$为正整数，且$k＜m$，$k$、$m$互质），则$\frac{3}{n}=\frac{k^2}{m^2}$，$n=\frac{3m^2}{k^2}$。因为$n$为正整数，所以$k^2$整除$3m^2$，又因为$k$、$m$互质，所以$k^2$整除3，故$k=1$，则$n=3m^2$。此时$\sqrt{\frac{300}{n}}=10×\frac{1}{m}=\frac{10}{m}$，它是大于1的整数，所以$\frac{10}{m}$为大于1的整数，$m$为10的正因数且$m＜10$，$m$的值可以为1、2、5。当$m=1$时，$n=3×1^2=3$；当$m=2$时，$n=3×2^2=12$；当$m=5$时，$n=3×5^2=75$。所以$n$的最小值为3，最大值为75。
3；75

17. (9分)x为何值时,下列各式在实数范围内有意义?
(1)$\sqrt {\frac {-3}{2x-3}};$
(2)$\sqrt {4-x}+\frac {1}{\sqrt {3x-5}};$
(3)$\frac {2}{1-\sqrt {x}}.$

答案：
(1)解：要使$\sqrt{\frac{-3}{2x - 3}}$有意义，则$\frac{-3}{2x - 3}\geq0$，因为分子$-3\lt0$，所以分母$2x - 3\lt0$，解得$x\lt\frac{3}{2}$。
(2)解：要使$\sqrt{4 - x}+\frac{1}{\sqrt{3x - 5}}$有意义，需$\begin{cases}4 - x\geq0\\3x - 5\gt0\end{cases}$，解$4 - x\geq0$得$x\leq4$，解$3x - 5\gt0$得$x\gt\frac{5}{3}$，所以$\frac{5}{3}\lt x\leq4$。
(3)解：要使$\frac{2}{1 - \sqrt{x}}$有意义，需$\begin{cases}x\geq0\\1 - \sqrt{x}\neq0\end{cases}$，解$1 - \sqrt{x}\neq0$得$\sqrt{x}\neq1$，即$x\neq1$，所以$x\geq0$且$x\neq1$。

18. (9分)计算:
(1)$\sqrt {1\frac {2}{3}}÷\sqrt {2\frac {1}{3}}×\sqrt {1\frac {2}{5}};$
(2)$\frac {1}{2}\sqrt {6}×4\sqrt {12}÷(\frac {2}{3}\sqrt {2});$
(3)$-\frac {4}{3}\sqrt {18}÷2\sqrt {8}×\frac {1}{3}\sqrt {54}.$

答案：
(1)解：原式$=\sqrt{\frac{5}{3}÷\frac{7}{3}×\frac{7}{5}}=\sqrt{\frac{5}{3}×\frac{3}{7}×\frac{7}{5}}=\sqrt{1}=1$
(2)解：原式$=\frac{1}{2}×4÷\frac{2}{3}×\sqrt{6×12÷2}=\left(\frac{1}{2}×4×\frac{3}{2}\right)×\sqrt{36}=3×6=18$
(3)解：原式$=-\frac{4}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\sqrt{18÷8×54}=-\frac{2}{9}×\sqrt{\frac{9}{4}×54}=-\frac{2}{9}×\frac{9}{2}\sqrt{6}=-\sqrt{6}$

19. (6分)如图,在$Rt△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },S_{△ABC}= \sqrt {18}cm^{2},BC= \sqrt {3}cm,AB= 3\sqrt {3}cm,CD⊥AB$于点D,求AC,CD的长.

答案： 解: 在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,
$\because S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC$,
$\therefore AC=\frac{2S_{\triangle ABC}}{BC}=\frac{2\sqrt{18}}{\sqrt{3}}=2\sqrt{6}\ (cm)$.
$\because CD\perp AB$,
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CD$,
$\therefore CD=\frac{2S_{\triangle ABC}}{AB}=\frac{2\sqrt{18}}{3\sqrt{3}}=\frac{2}{3}\sqrt{6}\ (cm)$.
答:$AC$的长为$2\sqrt{6}\ cm$,$CD$的长为$\frac{2}{3}\sqrt{6}\ cm$.

20. (6分)(大观区校级期末)若a,b为实数,且$b＜\sqrt {a-2}+\sqrt {2-a}+2$,化简:$\frac {1}{2-b}\sqrt {b^{2}-4b+4}+\sqrt {2a}.$

答案： 解：由题意得，$\begin{cases}a - 2 \geq 0 \\ 2 - a \geq 0\end{cases}$，解得$a = 2$。
因为$b ＜ \sqrt{a - 2} + \sqrt{2 - a} + 2$，所以$b ＜ 0 + 0 + 2$，即$b ＜ 2$。
则$\frac{1}{2 - b}\sqrt{b^2 - 4b + 4} + \sqrt{2a}$
$=\frac{1}{2 - b}\sqrt{(b - 2)^2} + \sqrt{2×2}$
$=\frac{2 - b}{2 - b} + \sqrt{4}$
$=1 + 2$
$=3$。
故答案为$3$。