《2025年赢在暑假抢分计划八年级数学人教版》

例1 下列计算,其中正确的是 (C)
A.$ x ^ { 3 } \cdot x ^ { 2 } = x ^ { 6 } $
B.$ ( a b ) ^ { 3 } = a b ^ { 3 } $
C.$ ( - a ^ { 3 } ) ^ { 4 } = a ^ { 1 2 } $
D.$ 3 x ^ { 3 } y ^ { 2 } ÷ x y ^ { 2 } = 3 x ^ { 3 } $

答案： 【解析】：
本题主要考察整式的乘法与因式分解中的同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及同底数幂的除法。
A选项：根据同底数幂的乘法法则，$x^3 \cdot x^2 = x^{3+2} = x^5$，与选项A中的$x^6$不符，故A错误。
B选项：根据积的乘方法则，$(ab)^3 = a^3b^3$，与选项B中的$ab^3$不符，故B错误。
C选项：根据幂的乘方法则，$(-a^3)^4 = ((-1)^4) \cdot (a^3)^4 = 1 \cdot a^{3 × 4} = a^{12}$，与选项C中的$a^{12}$相符，故C正确。
D选项：根据同底数幂的除法法则，$3x^3y^2 ÷ xy^2 = 3x^{3-1}y^{2-2} = 3x^2$，与选项D中的$3x^3$不符，故D错误。
【答案】：
C

例2 下列等式中,能成立的是 (C)
A.$ ( a + b ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } + a b + b ^ { 2 } $
B.$ ( a - 3 b ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } - 9 b ^ { 2 } $
C.$ ( 1 + a ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } + 2 a + 1 $
D.$ ( a + 4 ) ( a - 4 ) = a ^ { 2 } - 4 $

答案： 【解析】：
本题主要考察完全平方公式和平方差公式的应用。
完全平方公式为：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 和 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$。
平方差公式为：$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$。
A. 使用完全平方公式展开：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，与选项A给出的式子不符，故A错误。
B. 使用完全平方公式展开：$(a-3b)^2 = a^2 - 6ab + 9b^2$，与选项B给出的式子不符，故B错误。
C. 使用完全平方公式展开：$(1+a)^2 = a^2 + 2a + 1$，与选项C给出的式子相符，故C正确。
D. 使用平方差公式：$(a+4)(a-4) = a^2 - 16$，与选项D给出的式子不符，故D错误。
所以，正确答案是C。
【答案】：
C

例3 把 $ 8 a ^ { 3 } - 8 a ^ { 2 } + 2 a $ 进行因式分解,结果正确的是 (C)
A.$ 2 a ( 4 a ^ { 2 } - 4 a + 1 ) $
B.$ 8 a ^ { 2 } ( a - 1 ) $
C.$ 2 a ( 2 a - 1 ) ^ { 2 } $
D.$ 2 a ( 2 a + 1 ) ^ { 2 } $

答案： 【解析】：
本题考查了提取公因式法与公式法的综合运用，要注意按照因式分解的步骤，先提取公因式，再利用公式法分解到底。
首先观察多项式 $8a^{3} - 8a^{2} + 2a$，发现每一项都含有公因式 $2a$，因此先提取公因式：
$8a^{3} - 8a^{2} + 2a = 2a(4a^{2} - 4a + 1)$
接着观察括号内的多项式 $4a^{2} - 4a + 1$，这是一个完全平方公式，它可以表示为 $(2a - 1)^{2}$，所以：
$2a(4a^{2} - 4a + 1) = 2a(2a - 1)^{2}$
【答案】：
C