《2025年赢在暑假抢分计划八年级数学人教版》

9. 请利用轴对称性,在下面这组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律,然后在横线上的空白处画上恰当的图形：

答案：

10. 在平面直角坐标系中,点M(a,b)与点N(3,-1)关于x轴对称,则a+b的值是______。4

答案： 解：
∵点M(a,b)与点N(3,-1)关于x轴对称，
∴a=3，b=1，
∴a+b=3+1=4。
4

11. (青海)如图,在Rt△ABC中,∠ABC= 90°,ED是AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E,∠BAE= 10°,则∠C的度数为40°。

答案： 解：
∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴∠EAC=∠C。
∵∠ABC=90°，∠BAE=10°，
∴∠AEB=90°-∠BAE=80°。
∵∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，
∴2∠C=80°，
∴∠C=40°。
故答案为：40°。

12. 等腰三角形的底角为15°,腰长是2 cm,则腰上的高为1cm。

答案： 解：如图，在等腰△ABC中，AB=AC=2cm，∠B=∠ACB=15°，过C作CD⊥BA，交BA的延长线于D。
∵∠B=∠ACB=15°，
∴∠CAD=∠B+∠ACB=30°。
在Rt△ADC中，∠CAD=30°，AC=2cm，
∴CD=AC×sin30°=2×$\frac{1}{2}$=1cm。
故腰上的高为1cm。
1

13. 如图,在△ABC中,AB= AC,点D,E分别在CA,BA的延长线上,且BE= CD,连BD,CE。若∠BAC= 108°,∠D= 36°,则图中共有______个等腰三角形。

5

答案： 解：
∵AB=AC，∠BAC=108°，
∴∠ABC=∠ACB=(180°-108°)/2=36°，△ABC是等腰三角形。
在△ABD中，∠BAD=180°-∠BAC=72°，∠D=36°，
∴∠ABD=180°-∠BAD-∠D=72°，
∴∠ABD=∠BAD，AD=BD，△ABD是等腰三角形。
∵BE=CD，AB=AC，
∴AD=AE（CD=AC+AD，BE=AB+AE），
∴∠AED=∠ADE=(180°-∠DAE)/2=(180°-108°)/2=36°，△ADE是等腰三角形。
∠EBC=∠ABD+∠ABC=72°+36°=108°，∠ECB=∠ACB+∠ACE，
在△BEC中，∠E=∠ADE=36°，
∴∠ECB=180°-∠EBC-∠E=180°-108°-36°=36°，
∴∠E=∠ECB，BE=BC，△BEC是等腰三角形。
∠BDC=∠D=36°，∠DBC=∠ABC=36°，
∴∠BDC=∠DBC，BC=CD，△BDC是等腰三角形。
综上，等腰三角形有△ABC、△ABD、△ADE、△BEC、△BDC，共5个。
答案：5

14. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,AC= 6,BC= 8,AB= 10,BD平分∠ABC,如果点M,N分别为BD,BC上的动点,那么CM+MN的最小值是______。

4.8

答案： 解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N。
∵BD平分∠ABC，ME⊥AB，MN⊥BC，
∴MN=ME。
∴CM+MN=CM+ME=CE。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，
∵S△ABC=$\frac{1}{2}$AC·BC=$\frac{1}{2}$AB·CE，
∴$\frac{1}{2}$×6×8=$\frac{1}{2}$×10×CE，
解得CE=4.8。
即CM+MN的最小值是4.8。
4.8

15. (7分)如图,在△ABC中,AB= AC,AD是边BC上的中线,BE⊥AC于点E。求证：∠CBE= ∠BAD。

答案： 证明：$\because AB=AC$，$AD$是边$BC$上的中线，
$\therefore AD\perp BC$，$\angle BAD=\angle CAD$。
$\because BE\perp AC$，
$\therefore \angle BEC=\angle ADC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle CBE=90^{\circ}-\angle C$，$\angle CAD=90^{\circ}-\angle C$，
$\therefore \angle CBE=\angle CAD$，
$\therefore \angle CBE=\angle BAD$。

16. (8分)如图,小河EF边有两个村庄A,B,要在河边建一个自来水厂分别向A村与B村供水。
(1)若要使水厂到A,B村的距离相等,则应选择在哪建厂？
(2)若要使水厂到A,B村的水管最省料,则应选择在哪建厂？

答案： （1）连接 $AB$，作 $AB$ 的垂直平分线交 $EF$ 于点 $M$，点 $M$ 即为所求。
（2）作点 $A$ 关于 $EF$ 的对称点 $A'$，连接 $A'B$，交 $EF$ 于点 $C$，点 $C$ 即为所求。