《2025年赢在暑假抢分计划八年级数学人教版》

1.(台州)下列运算正确的是 (A)
A.$ a ^ { 2 } \cdot a ^ { 3 } = a ^ { 5 } $
B.$ ( a ^ { 2 } ) ^ { 3 } = a ^ { 8 } $
C.$ ( a ^ { 2 } b ) ^ { 3 } = a ^ { 2 } b ^ { 3 } $
D.$ a ^ { 6 } ÷ a ^ { 3 } = a ^ { 2 } $

答案： 解：A. $a^{2} \cdot a^{3} = a^{2+3} = a^{5}$，运算正确；
B. $(a^{2})^{3} = a^{2×3} = a^{6} \neq a^{8}$，运算错误；
C. $(a^{2}b)^{3} = a^{2×3}b^{3} = a^{6}b^{3} \neq a^{2}b^{3}$，运算错误；
D. $a^{6} ÷ a^{3} = a^{6-3} = a^{3} \neq a^{2}$，运算错误。
结论：正确选项为A。

2. 下列运算正确的是 (D)
A.$ m ^ { 2 } ( m n - 3 n + 1 ) = m ^ { 3 } n - 3 m ^ { 2 } n $
B.$ - 2 x ( x ^ { 2 } - 1 ) = - 2 x ^ { 3 } - 2 x $
C.$ ( - a + b ) ( - a - b ) = b ^ { 2 } - a ^ { 2 } $
D.$ 3 x ^ { 2 } y ÷ x y = 3 x $

答案： 解：A. $ m^2(mn - 3n + 1) = m^3n - 3m^2n + m^2$，原式错误；
B. $ -2x(x^2 - 1) = -2x^3 + 2x$，原式错误；
C. $(-a + b)(-a - b) = (-a)^2 - b^2 = a^2 - b^2$，原式错误；
D. $3x^2y ÷ xy = 3x$，正确。
答案：D

3.(济宁)下面各式从左到右的变形,属于因式分解的是 (C)
A.$ x ^ { 2 } - x - 1 = x ( x - 1 ) - 1 $
B.$ x ^ { 2 } - 1 = ( x - 1 ) ^ { 2 } $
C.$ x ^ { 2 } - x - 6 = ( x - 3 ) ( x + 2 ) $
D.$ x ( x - 1 ) = x ^ { 2 } - x $

答案： 解：因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式。
A选项右边不是整式积的形式，不属于因式分解；
B选项$x^2 - 1=(x+1)(x - 1)\neq(x - 1)^2$，变形错误；
C选项$x^2 - x - 6=(x - 3)(x + 2)$，是整式积的形式，属于因式分解；
D选项是整式乘法，不属于因式分解。
故选C。

4. 下列各式中正确的有 (A)
① $ 2 0 2 4 ^ { 0 } = 1 $；② $ ( 2 × 1 0 ^ { 2 } ) × ( - 8 × 1 0 ^ { 3 } ) = - 1. 6 × 1 0 ^ { 5 } $；③ $ - c ^ { 2 } \cdot ( - c ) ^ { 3 } = - c ^ { 5 } $；④ $ ( m - 2 ) ^ { 2 } = m ^ { 2 } - 2 m + 4 $。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： 解：① $2024^0 = 1$，正确；
② $(2×10^2)×(-8×10^3) = 2×(-8)×10^{2+3} = -16×10^5 = -1.6×10^6$，错误；
③ $-c^2·(-c)^3 = -c^2·(-c^3) = c^5$，错误；
④ $(m - 2)^2 = m^2 - 4m + 4$，错误。
正确的有1个。
答案：A

5. 下列因式分解正确的是 (D)
A.$ x ^ { 2 } y - 2 x y ^ { 2 } + x y = x y ( x - 2 y ) $
B.$ - x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = ( x + y ) ( x - y ) $
C.$ 2 x ^ { 3 } - 8 x = 2 x ( x ^ { 2 } - 4 ) $
D.$ x ^ { 2 } - x + \frac { 1 } { 4 } = ( x - \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 2 } $

答案： 解：A. $x^2y - 2xy^2 + xy = xy(x - 2y + 1)$，故A错误；
B. $-x^2 + y^2 = (y + x)(y - x)$，故B错误；
C. $2x^3 - 8x = 2x(x^2 - 4) = 2x(x + 2)(x - 2)$，故C错误；
D. $x^2 - x + \frac{1}{4} = (x - \frac{1}{2})^2$，故D正确。
答案：D

6. 将形状大小完全相同四个小正方形,按照如图所示的两种方式放置于两个边长不相等的大正方形中,根据两个图形中阴影部分的面积关系,得到的等式是 (D)
A.$ ( m + n ) ( m - n ) ) = m ^ { 2 } - n ^ { 2 } $
B.$ ( m + n ) ^ { 2 } = m ^ { 2 } + 2 m n + n ^ { 2 } $
C.$ ( m + n ) ^ { 2 } - ( m - n ) ^ { 2 } = 4 m m $
D.$ ( m - n ) ^ { 2 } = m ^ { 2 } - 2 m n + n ^ { 2 } $

答案： 解：设小正方形边长为 $ a $。
左图阴影面积：$ 4a^2 $。
右图大正方形边长为 $ m $，空白部分为两个长方形（长 $ m $、宽 $ n $）重叠一个边长为 $ n $ 的正方形，阴影面积 = 大正方形面积 - 空白面积，即 $ m^2 - [2mn - n^2] = m^2 - 2mn + n^2 $。
由阴影面积相等得：$ 4a^2 = m^2 - 2mn + n^2 $，且左图可视为边长为 $ 2a $ 的正方形，对比可知 $ 2a = m - n $，代入验证等式成立，故等式为 $ (m - n)^2 = m^2 - 2mn + n^2 $。
答案：D

7. 已知 $ a \neq c $,若 $ M = a ^ { 2 } - a c $,$ N = a c - c ^ { 2 } $,则 $ M $ 与 $ N $ 的大小关系是 (A)
A.$ M ＞ N $
B.$ M = N $
C.$ M ＜ N $
D.不能确定

答案： 解：$ M - N = (a^2 - ac) - (ac - c^2) $
$ = a^2 - ac - ac + c^2 $
$ = a^2 - 2ac + c^2 $
$ = (a - c)^2 $
因为 $ a \neq c $，所以 $ (a - c)^2 ＞ 0 $，即 $ M - N ＞ 0 $，故 $ M ＞ N $。
A

8. 若 $ a ^ { m } = a ^ { n } ( a ＞ 0 $ 且 $ a \neq 1 ) $,则 $ m = n $。已知 $ 4 ^ { m } = 3 $,$ 4 ^ { n } = 1 2 $,$ 4 ^ { p } = 4 8 $,现给出 $ m $,$ n $,$ p $ 三者之间的关系式：① $ m + p = 2 n $；② $ m - n = 1 $；③ $ m + n = 2 p - 1 $；④ $ n ^ { 2 } - m p = 1 $。其中正确的个数有 ( C )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

答案： 解：已知$4^m = 3$，$4^n = 12$，$4^p = 48$。
① $4^{m+p}=4^m \cdot 4^p=3×48=144$，$4^{2n}=(4^n)^2=12^2=144$，则$4^{m+p}=4^{2n}$，故$m + p = 2n$，①正确。
② $4^{m - n}=4^m÷4^n=3÷12=\frac{1}{4}=4^{-1}$，则$m - n=-1$，②错误。
③ $4^{m + n}=4^m \cdot 4^n=3×12=36$，$4^{2p - 1}=4^{2p}÷4=(4^p)^2÷4=48^2÷4=2304÷4=576$，$36\neq576$，故③错误。
④ 由①得$p = 2n - m$，$n^2 - mp=n^2 - m(2n - m)=n^2 - 2mn + m^2=(m - n)^2$，由②知$m - n=-1$，则$(m - n)^2=1$，故④正确。
综上，正确的为①④，共2个。
答案：C

9. 已知 $ a ^ { m } = 3 $,$ a ^ { n } = 2 $,则(1)$ a ^ { 2 m + n } = $18；(2)$ a ^ { 3 m - 2 n } = $$\frac{27}{4}$。

答案：
(1) $a^{2m+n}=a^{2m}\cdot a^{n}=(a^{m})^{2}\cdot a^{n}=3^{2}×2=9×2=18$
(2) $a^{3m-2n}=a^{3m}÷ a^{2n}=(a^{m})^{3}÷(a^{n})^{2}=3^{3}÷2^{2}=27÷4=\frac{27}{4}$
(1) 18；
(2) $\frac{27}{4}$

10. 分解因式：
(1)(眉山)$ 2 x ^ { 2 } - 8 x = $$2x(x - 4)$；
(2)$ 2 a x ^ { 2 } - 1 2 a x + 1 8 a = $$2a(x - 3)^2$。

答案：
(1) $2x(x - 4)$
(2) $2a(x - 3)^2$

11. 已知 $ ( x + a ) ( x ^ { 2 } - x ) $ 的展开式中不含 $ x $ 的二次项,则 $ a = $____1。

答案： 解：$(x + a)(x^2 - x)$
$=x^3 - x^2 + ax^2 - ax$
$=x^3 + (a - 1)x^2 - ax$
因为展开式中不含$x$的二次项，所以二次项系数$a - 1 = 0$，解得$a = 1$。
1

12. 已知 $ a - b = 5 $,$ a b = 2 $,则 $ a ^ { 2 } - a b + b ^ { 2 } = $27。

答案： 解：因为 $a - b = 5$，$ab = 2$，
所以 $a^2 - ab + b^2 = (a - b)^2 + ab$
$= 5^2 + 2$
$= 25 + 2$
$= 27$
27