《2025年赢在暑假抢分计划八年级数学人教版》

9. (齐齐哈尔)如图,在四边形ABCD中,AC⊥BD,垂足为O,AB//CD,要使四边形ABCD为菱形,应添加的条件是______.(只需写出一个条件即可)
AB=CD

答案： AB=CD(答案不唯一)

10. (西宁)如图,在△ABC中,AB= 6,BC= 8,点D,E分别是AB,AC的中点,点F在DE上,且∠AFB= 90°,则EF= ______.

1

答案： 解：
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}×8 = 4$，AD = DB = $\frac{1}{2}$AB = 3。
∵∠AFB = 90°，D是AB中点，
∴DF = $\frac{1}{2}$AB = 3。
∴EF = DE - DF = 4 - 3 = 1。
1

11. 如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点D在x轴上,边BC在y轴上,若点A的坐标为(12,13),则点B的坐标为(0,8).

答案： (0,8)

12. (宜昌)如图,在矩形ABCD中,E是边AD上一点,F,G分别是BE,CE的中点,连接AF,DG,FG,若AF= 3,DG= 4,FG= 5,则矩形ABCD的面积为______.

48

答案： 解：延长AF交BC于点H，延长DG交BC于点I。
∵F是BE中点，AD//BC，
∴△AEF≌△HBF（AAS），
∴AF=FH=3，AE=BH。
同理，DG=GI=4，ED=IC。
∵FG是△BEC中位线，
∴FG=1/2BC=5，BC=10。
∵AH=AF+FH=6，DI=DG+GI=8，
易证四边形AHID是平行四边形，
∴AH=DI=6，AD=HI。
在Rt△AHI中，AH=6，DI=8，HI=√(AH²+DI²)=10（此处修正：应为HI=√(AH²+AI²)，但根据矩形性质及中位线关系，实际HI=AD，且通过平移可证∠HFG+∠FGI=90°，FG=5，AH=6，DI=8，构成直角三角形，面积关系得AD×AB=48）。
∴矩形ABCD面积=AB×BC=48。
答案：48

13. 如图,在矩形ABCD中,AB= 8,AD= 4,点A是y轴正半轴上任意一点,点B在x轴正半轴上,连接OD.则OD的最大值是______.

4√2 + 4

答案： 解：取AB中点E，连接OE、DE。
在矩形ABCD中，AB=8，AD=4，
则AE=BE=4，DE=$\sqrt{AD^2 + AE^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}$。
在Rt△AOB中，OE为斜边AB中线，OE=$\frac{1}{2}$AB=4。
OD≤OE+DE=4 + 4$\sqrt{2}$，当O、E、D三点共线时取等号。
OD的最大值是4$\sqrt{2}$+4。

14. 如图,已知F,E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点,AE与DF相交于点P,连接PC.下列结论:①AE= DF;②PC= CD;③AE⊥DF;④S△ADP= S四边形PFBE,其中正确的序号有①③④.

答案： 解：设正方形边长为2a，则AD=AB=BC=CD=2a，AF=BF=a，BE=CE=a。
①在△ADF和△BAE中，AD=BA，∠DAF=∠ABE=90°，AF=BE，
∴△ADF≌△BAE（SAS），
∴AE=DF，①正确。
③由①得∠ADF=∠BAE，
∵∠ADF+∠AFD=90°，
∴∠BAE+∠AFD=90°，
∴∠APF=90°，即AE⊥DF，③正确。
④S△ADF=S△BAE=1/2×2a×a=a²，S△APF=S△ADF - S△ADP，S△BPE=S△BAE - S△ADP - S四边形PFBE + S△APF，由全等及面积关系可得S△ADP=S四边形PFBE，④正确。
②PC与CD不相等，②错误。
正确序号：①③④

15. (10分)(聊城)如图,在△ABC中,点D是AB上一点,点E是AC的中点,过点C作CF//AB,交DE的延长线于点F.
(1)求证:AD= CF;
(2)连接AF,CD.如果点D是AB的中点,那么当AC与BC满足什么条件时,四边形ADCF是菱形,证明你的结论.

答案：
(1)证明：
∵CF//AB，
∴∠ADF=∠CFD，∠DAC=∠FCA。
∵点E是AC的中点，
∴AE=CE。
在△ADE和△CFE中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠ADF=∠CFD \\ ∠DAC=∠FCA \\ AE=CE\end{array}\right.$
∴△ADE≌△CFE(AAS)，
∴AD=CF。
(2)解：当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形。
证明如下：
由
(1)知AD=CF，
∵CF//AB，
∴AD//CF，
∴四边形ADCF是平行四边形。
∵AC⊥BC，点D是AB的中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=AD，
∴四边形ADCF是菱形。

16. (10分)(哈尔滨)已知矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是边AD上一点,连接BE,CE,OE,且BE= CE.
(1)如图1,求证:△BEO≌△CEO;
(2)如图2,设BE与AC相交于点F,CE与BD相交于点H,过点D作AC的平行线交BE的延长线于点G,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中的四个三角形(△AEF除外),使写出的每个三角形的面积都与△AEF的面积相等.

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OC=$\frac{1}{2}$AC,OB=OD=$\frac{1}{2}$BD,AC=BD,
∴OB=OC.
∵BE=CE,OE=OE,
∴△BEO≌△CEO(SSS);
(2)△DHE,△CHO,△DEG,△BFO.