《2025年赢在暑假抢分计划八年级数学人教版》

21. (7分)小亮和小芳在解题目“求代数式$a+\sqrt {a^{2}-2a+1}$的值,其中$a= -2023$.”时的解答过程如图所示:
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| 小亮 | 解:原式$=a+\sqrt {(1-a)^{2}}= a+1-a= 1.$ |
| 小芳 | 解:原式$=a+\sqrt {(1-a)^{2}}= a+a-1= 2a-1= -4047$ |
(1)小亮和小芳两人谁的解法错误? 请说明理由；
(2)求代数式$a+2\sqrt {a^{2}-6a+9}$的值,其中$a= -2024.$

答案：
(1) 小芳的解法错误。理由如下：
∵ $a = -2023$，
∴ $1 - a = 1 - (-2023) = 2024 ＞ 0$，
∴ $\sqrt{(1 - a)^2} = 1 - a$，
∴ 小芳的解法错误。
(2)
∵ $a = -2024$，
∴ $a - 3 = -2024 - 3 = -2027 ＜ 0$，
∴ 原式 $= a + 2\sqrt{(a - 3)^2}$
$= a + 2(3 - a)$
$= a + 6 - 2a$
$= 6 - a$
$= 6 - (-2024)$
$= 2030$。

22. (7分)老师在复习“二次根式”时,在黑板上写出下面的一道题作为练习:
已知$a= \sqrt {7},b= \sqrt {70}$,用含a,b的代数式表示$\sqrt {4.9}$.小豪、小麦两位同学跑上讲台,板书了下面两种解法:
小豪:$\sqrt {4.9}= \sqrt {\frac {49}{10}}= \sqrt {\frac {49×10}{10×10}}= \sqrt {\frac {490}{100}}= \frac {\sqrt {7×70}}{10}= \frac {\sqrt {7}×\sqrt {70}}{10}= \frac {ab}{10}.$
小麦:$\sqrt {4.9}= \sqrt {49×0.1}= 7\sqrt {0.1}.$
因为$\sqrt {0.1}= \sqrt {\frac {1}{10}}= \sqrt {\frac {7}{70}}= \frac {\sqrt {7}}{\sqrt {70}}= \frac {a}{b},\sqrt {4.9}= 7\sqrt {0.1}= \frac {7a}{b}.$
老师看罢,提出下面的问题:
(1)两位同学的解法都正确吗?
(2)请你再给出一种不同于二人的解法?

答案：
(1) 两位同学的解法都正确.
(2) $\because \sqrt{10} = \sqrt{\frac{70}{7}} = \frac{\sqrt{70}}{\sqrt{7}} = \frac{b}{a}$,
$\therefore \sqrt{4.9} = \sqrt{\frac{49}{10}} = \frac{7}{\sqrt{10}} = \frac{7}{\frac{b}{a}} = \frac{7a}{b}$.

23. (8分)观察下列各式,发现规律:$\sqrt {1+\frac {1}{3}}= 2\sqrt {\frac {1}{3}};\sqrt {2+\frac {1}{4}}= 3\sqrt {\frac {1}{4}};\sqrt {3+\frac {1}{5}}= 4\sqrt {\frac {1}{5}};... $
(1)填空:$\sqrt {4+\frac {1}{6}}=$$5\sqrt{\frac{1}{6}}$,$\sqrt {5+\frac {1}{7}}=$$6\sqrt{\frac{1}{7}}$;
(2)计算:$\sqrt {99+\frac {1}{101}}$;(写出计算过程)解：原式$=\sqrt{\frac{99×101 + 1}{101}}=\sqrt{\frac{9999 + 1}{101}}=\sqrt{\frac{10000}{101}}=100\sqrt{\frac{1}{101}}$；
(3)请用含自然数$n(n≥1)$的式子把你所发现的规律表示出来,并给予证明.规律：$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}(n\geq1)$。
证明：左边$=\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=\sqrt{\frac{n(n+2)+1}{n+2}}=\sqrt{\frac{n^2 + 2n + 1}{n+2}}=\sqrt{\frac{(n+1)^2}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}=$右边，
所以$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}(n\geq1)$。

答案：
(1) $5\sqrt{\frac{1}{6}}$，$6\sqrt{\frac{1}{7}}$；
(2) 解：原式$=\sqrt{\frac{99×101 + 1}{101}}=\sqrt{\frac{9999 + 1}{101}}=\sqrt{\frac{10000}{101}}=100\sqrt{\frac{1}{101}}$；
(3) 规律：$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}(n\geq1)$。
证明：左边$=\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=\sqrt{\frac{n(n+2)+1}{n+2}}=\sqrt{\frac{n^2 + 2n + 1}{n+2}}=\sqrt{\frac{(n+1)^2}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}=$右边，
所以$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}(n\geq1)$。