《2025年赢在暑假抢分计划八年级数学人教版》

13. 已知 $ ( x - t ) ^ { 2 } = x ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } m x + 1 6 $,则 $ m = $$\pm 16$。

答案： 解：将等式左边展开，得
$(x - t)^2 = x^2 - 2tx + t^2$
由题意，得
$x^2 - 2tx + t^2 = x^2 - \frac{1}{2}mx + 16$
比较等式两边对应项系数，得
$\begin{cases}-2t = -\frac{1}{2}m \\t^2 = 16\end{cases}$
由$t^2 = 16$，解得$t = \pm 4$。
当$t = 4$时，代入$-2t = -\frac{1}{2}m$，得$-8 = -\frac{1}{2}m$，解得$m = 16$；
当$t = -4$时，代入$-2t = -\frac{1}{2}m$，得$8 = -\frac{1}{2}m$，解得$m = -16$。
综上，$m = \pm 16$。

14. 观察下列等式：$ 3 9 × 4 1 = 4 0 ^ { 2 } - 1 ^ { 2 } $；$ 4 8 × 5 2 = 5 0 ^ { 2 } - 2 ^ { 2 } $；$ 5 6 × 6 4 = 6 0 ^ { 2 } - 4 ^ { 2 } $；$ 6 5 × 7 5 = 7 0 ^ { 2 } - 5 ^ { 2 } $；$ 8 3 × 9 7 = 9 0 ^ { 2 } - 7 ^ { 2 } … $
请你把发现的规律用含有 $ m $,$ n $ 的式子表示出来：$ m \cdot n = $$(\frac{m + n}{2})^2 - (\frac{m - n}{2})^2$。

答案： 观察等式可知，每个等式左边两个数的乘积等于这两个数和的一半的平方减去这两个数差的一半的平方。
设两个数分别为$m$，$n$，则$m\cdot n = (\frac{m + n}{2})^2 - (\frac{m - n}{2})^2$
答案：$(\frac{m + n}{2})^2 - (\frac{m - n}{2})^2$

15.(12分)计算：
(1)$ a ^ { 3 } \cdot ( - 2 a ^ { 2 } ) ^ { 3 } ÷ ( \frac { 1 } { 2 } a ) $；
(2)$ ( - a + 3 b ) ( 7 a - 2 b ) $；
(3)$ 1 0 0 5 × 9 9 5 - 9 9 8 ^ { 2 } $；
(4)$ ( x + 4 y - 3 z ) ( x - 4 y + 3 z ) $。

答案：
(1)解：原式$=a^{3}\cdot(-8a^{6})÷(\frac{1}{2}a)$
$=-8a^{9}÷(\frac{1}{2}a)$
$=-16a^{8}$
(2)解：原式$=-7a^{2}+2ab+21ab-6b^{2}$
$=-7a^{2}+23ab-6b^{2}$
(3)解：原式$=(1000 + 5)×(1000 - 5)-998^{2}$
$=1000^{2}-5^{2}-998^{2}$
$=(1000 + 998)×(1000 - 998)-25$
$=1998×2 - 25$
$=3996 - 25$
$=3971$
(4)解：原式$=[x+(4y - 3z)][x-(4y - 3z)]$
$=x^{2}-(4y - 3z)^{2}$
$=x^{2}-(16y^{2}-24yz + 9z^{2})$
$=x^{2}-16y^{2}+24yz - 9z^{2}$

16.(9分)分解因式：
(1)$ m ( a - 3 ) + 2 m ^ { 2 } ( 3 - a ) $；
(2)$ - \frac { 1 } { 2 } a ^ { 2 } + 2 b ^ { 2 } $；
(3)$ 1 6 m ^ { 4 } - 8 m ^ { 2 } n ^ { 2 } + n ^ { 4 } $。

答案：
(1)解：原式$=m(a-3)-2m^2(a-3)$
$=m(a-3)(1-2m)$
(2)解：原式$=-\frac{1}{2}(a^2-4b^2)$
$=-\frac{1}{2}(a+2b)(a-2b)$
(3)解：原式$=(4m^2-n^2)^2$
$=[(2m+n)(2m-n)]^2$
$=(2m+n)^2(2m-n)^2$

17.(6分)先化简,再求值：$ [ ( 3 x + y ) ( 3 x - y ) + ( x - y ) ^ { 2 } + 2 ( x ^ { 2 } - 2 x y ) ] ÷ 2 x $,其中 $ x $,$ y $ 满足 $ \left| x - \frac { 1 } { 2 } \right| + ( y + 4 ) ^ { 2 } = 0 $。

答案： 解：原式$=[(3x+y)(3x-y)+(x-y)^2+2(x^2-2xy)]÷2x$
$=(9x^2-y^2+x^2-2xy+y^2+2x^2-4xy)÷2x$
$=(12x^2-6xy)÷2x$
$=6x-3y$。
$\because|x-\frac{1}{2}|+(y+4)^2=0$，
$\therefore x-\frac{1}{2}=0$，$y+4=0$，
$\therefore x=\frac{1}{2}$，$y=-4$。
$\therefore$原式$=6×\frac{1}{2}-3×(-4)=3+12=15$。

18.(8分)在计算 $ ( 2 x + a ) ( x + b ) $ 时,甲错把 $ b $ 看成了6,得到结果是 $ 2 x ^ { 2 } + 8 x - 2 4 $；乙错把 $ a $ 看成了 $ - a $,得到结果是 $ 2 x ^ { 2 } + 1 4 x + 2 0 $。
(1)求出 $ a $,$ b $ 的值；
(2)在(1)的条件下,计算 $ ( 2 x + a ) ( x + b ) $ 的结果。

答案：
(1) 甲错把 $ b $ 看成 6，计算 $ (2x + a)(x + 6) $：
$\begin{aligned}(2x + a)(x + 6) &= 2x^2 + 12x + ax + 6a \\&= 2x^2 + (12 + a)x + 6a\end{aligned}$
结果为 $ 2x^2 + 8x - 24 $，则：
$ 12 + a = 8 $，解得 $ a = -4 $；
$ 6a = -24 $，验证 $ a = -4 $ 成立。
乙错把 $ a $ 看成 $ -a $，即 $ a = 4 $，计算 $ (2x - a)(x + b) = (2x + 4)(x + b) $：
$\begin{aligned}(2x + 4)(x + b) &= 2x^2 + 2bx + 4x + 4b \\&= 2x^2 + (2b + 4)x + 4b\end{aligned}$
结果为 $ 2x^2 + 14x + 20 $，则：
$ 2b + 4 = 14 $，解得 $ b = 5 $；
$ 4b = 20 $，验证 $ b = 5 $ 成立。
综上，$ a = -4 $，$ b = 5 $。
(2) 当 $ a = -4 $，$ b = 5 $ 时：
$\begin{aligned}(2x + a)(x + b) &= (2x - 4)(x + 5) \\&= 2x^2 + 10x - 4x - 20 \\&= 2x^2 + 6x - 20\end{aligned}$
答案：
(1) $ a = -4 $，$ b = 5 $；
(2) $ 2x^2 + 6x - 20 $。