《2025年赢在暑假抢分计划八年级数学人教版》

19. (6分)先化简,再求值：$\frac {a^{2}-b^{2}}{a}÷(a-\frac {2ab-b^{2}}{a})$,其中$a= 2+\sqrt {3}$,$b= 2-\sqrt {3}$。

答案： 解：原式$=\frac{(a+b)(a-b)}{a}÷\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a}$
$=\frac{(a+b)(a-b)}{a}\cdot\frac{a}{(a - b)^2}$
$=\frac{a + b}{a - b}$
当$a = 2+\sqrt{3}$，$b = 2-\sqrt{3}$时，
原式$=\frac{(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})-(2-\sqrt{3})}$
$=\frac{4}{2\sqrt{3}}$
$=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

20. (8分)(平潭县期末)已知$x= \frac {\sqrt {3}+1}{2}$,$y= \frac {\sqrt {3}-1}{2}$,求$x^{2}-xy+y^{2}和\frac {1}{x}+\frac {1}{y}$的值。

答案： 解：
∵$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$，$y = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$，
∴$x + y = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} + \frac{\sqrt{3} - 1}{2} = \sqrt{3}$，
$xy = \frac{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)}{2×2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$。
$x^2 - xy + y^2 = (x + y)^2 - 3xy = (\sqrt{3})^2 - 3×\frac{1}{2} = 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$；
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{xy} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{3}$。
综上，$x^2 - xy + y^2$的值为$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$的值为$2\sqrt{3}$。

21. (9分)(攸县期末)已知长方形长$a= \frac {1}{2}\sqrt {48}$,宽$b= \frac {1}{3}\sqrt {27}$。
(1)求长方形的周长；
(2)求与长方形等面积的正方形的周长,并比较长方形周长与正方形周长的大小关系。

答案：
(1) 解：长方形的周长为
$2\left(a + b\right) = 2\left(\frac{1}{2}\sqrt{48} + \frac{1}{3}\sqrt{27}\right)$
化简二次根式：
$\frac{1}{2}\sqrt{48} = \frac{1}{2} × 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3}, \quad \frac{1}{3}\sqrt{27} = \frac{1}{3} × 3\sqrt{3} = \sqrt{3}$
代入得：
$2\left(2\sqrt{3} + \sqrt{3}\right) = 2 × 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$
(2) 解：长方形的面积为
$a × b = \frac{1}{2}\sqrt{48} × \frac{1}{3}\sqrt{27} = 2\sqrt{3} × \sqrt{3} = 2 × 3 = 6$
正方形面积等于长方形面积，故正方形边长为
$\sqrt{6}$
正方形周长为
$4\sqrt{6}$
比较大小：
$6\sqrt{3} = \sqrt{36 × 3} = \sqrt{108}, \quad 4\sqrt{6} = \sqrt{16 × 6} = \sqrt{96}$
∵ $\sqrt{108} ＞ \sqrt{96}$，
∴ $6\sqrt{3} ＞ 4\sqrt{6}$，即长方形周长大于正方形周长。
答案：
(1) $6\sqrt{3}$；
(2) 正方形周长为 $4\sqrt{6}$，长方形周长大于正方形周长。

22. (11分)小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如$3+2\sqrt {2}= (1+\sqrt {2})^{2}$,善于思考的小明进行了以下探索：
设$a+b\sqrt {2}= (m+n\sqrt {2})^{2}$(其中a,b,m,n均为正整数),则有$a+b\sqrt {2}= m^{2}+2n^{2}+2mn\sqrt {2}$,$\therefore a= m^{2}+2n^{2}$,$b= 2mn$。
这样小明就找到了一种把$a+b\sqrt {2}$的式子化为平方式的方法。请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a,b,m,n均为正整数时,若$a+b\sqrt {3}= (m+n\sqrt {3})^{2}$,用含m,n的式子分别表示a,b,得$a= $$ m^{2}+3n^{2} $,$b= $$ 2mn $；
(2)利用所探索的结论,找一组正整数a,b,m,n填空：4$+$2$\sqrt {3}= $(1$+$1$\sqrt {3})^{2}$；
(3)若$a+4\sqrt {3}= (m+n\sqrt {3})^{2}$,且a,m,n均为正整数,求a的值。
解：根据题意，得$\begin{cases}a = m^{2}+3n^{2} \\4 = 2mn\end{cases}$
∵$2mn = 4$，且$m$，$n$为正整数，
∴$mn=2$，则$m=1$，$n=2$或$m=2$，$n=1$。
当$m=1$，$n=2$时，$a=1^{2}+3×2^{2}=1 + 12=13$；
当$m=2$，$n=1$时，$a=2^{2}+3×1^{2}=4 + 3=7$。
∴$a=7$或$13$。

答案：
(1) $ m^{2}+3n^{2} $；$ 2mn $
(2) 4；2；1；1（答案不唯一）
(3) 解：根据题意，得$\begin{cases}a = m^{2}+3n^{2} \\4 = 2mn\end{cases}$
∵$2mn = 4$，且$m$，$n$为正整数，
∴$mn=2$，则$m=1$，$n=2$或$m=2$，$n=1$。
当$m=1$，$n=2$时，$a=1^{2}+3×2^{2}=1 + 12=13$；
当$m=2$，$n=1$时，$a=2^{2}+3×1^{2}=4 + 3=7$。
∴$a=7$或$13$。