《2025年赢在暑假抢分计划八年级数学人教版》

3. (绍兴)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC = 40^{\circ}$,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AE平分\angle BAC交BC于点E$。$P是边BC$上的动点(不与点$B$,$C$重合),连接$AP$,将$\triangle APC沿AP翻折得\triangle APD$,连接$DC$,记$\angle BCD = \alpha$。
(1)如图,当点$P与点E$重合时,求$\alpha$的度数；
(2)当点$P与点E$不重合时,记$\angle BAD = \beta$,探究$\alpha与\beta$的数量关系。

答案：
3. 解:
(1)
∵∠B = 40°, ∠ACB = 90°,
∴∠BAC = 50°.
∵AE 平分 ∠BAC, 点 P 与点 E 重合,
∴点 D 在 AB 边上, AC = AD,
∴∠ACD = ∠ADC = (180° - ∠BAC) ÷ 2 = 65°,
∴α = ∠ACB - ∠ACD = 25°;
(2) ① 当点 P 在线段 BE 上时, 如图 1,
∵将 △APC 沿 AP 翻折得 △APD,
∴AC = AD.
∵∠BCD = α, ∠ACB = 90°,
∴∠ADC = ∠ACD = 90° - α. 又
∵∠ADC + ∠BAD = ∠B + ∠BCD, ∠BAD = β, ∠B = 40°,
∴(90° - α) + β = 40° + α,
∴2α - β = 50°; ② 如图 2, 当点 P 在线段 CE 上时, 延长 AD 交 BC 于点 F.
∵将 △APC 沿 AP 翻折得 △APD,
∴AC = AD.
∵∠BCD = α, ∠ACB = 90°,
∴∠ADC = ∠ACD = 90° - α. 又
∵∠ADC = ∠AFC + ∠BCD, ∠AFC = ∠ABC + ∠BAD,
∴∠ADC = ∠ABC + ∠BAD + ∠BCD = 40° + β + α,
∴90° - α = 40° + α + β,
∴2α + β = 50°. 综上所述, 当点 P 在线段 BE 上时, 2α - β = 50°; 当点 P 在线段 CE 上时, 2α + β = 50°.

4. 如图,$DB = DE$,$DC = DA$,$\angle BDC + \angle ADE = 180^{\circ}$,$DF是\triangle ADE的边AE$上的中线。试探索$DF与BC$的数量关系,并说明理由。

答案：
4. 解: BC = 2DF. 理由: 如图, 延长 DF 至点 G, 使 FG = DF, 连接 AG, 则 DG = 2DF.
∵DF 是 △ADE 的边 AE 上的中线,
∴EF = AF. 在 △DEF 和 △GAF 中, $\begin{cases}EF = AF\\\angle EFD = \angle AFG\\DF = GF\end{cases}, \therefore \triangle DEF \cong \triangle GAF(SAS), \therefore DE = AG, \angle E = \angle GAF, \therefore DE // AG$, $\therefore \angle EDA + \angle DAG = 180^{\circ}. \because \angle BDC + \angle ADE = 180^{\circ}, \therefore \angle BDC = \angle GAD. \because DB = DE, \therefore DB = AG$. 在 $\triangle BDC$ 和 $\triangle GAD$ 中, $\begin{cases}DB = AG\\\angle BDC = \angle GAD\\DC = AD\end{cases}, \therefore \triangle BDC \cong \triangle GAD(SAS), \therefore BC = DG. \therefore BC = 2DF$.

5. 如图,在$\triangle ABD$中,$\angle ABD = 90^{\circ}$,$AB = AC$,$AD = AE$,连接$BC与AD交于点G$,连接$DE与BC的延长线交于点F$。
(1)当$\angle BAC = \angle DAE$时,求证：$\triangle ABD \cong \triangle ACE$；
(2)在(1)的条件下,设$\angle ADB = \alpha$,$\angle BAC = \beta$,当$\alpha$,$\beta$满足什么关系时,$\triangle ABG \cong \triangle FDG$,并说明理由。

答案：
(1) 证明：
∵∠BAC = ∠DAE，
∴∠BAC - ∠CAD = ∠DAE - ∠CAD，即∠BAD = ∠CAE。
在△ABD和△ACE中，
$\begin{cases}AB = AC\\\angle BAD = \angle CAE\\AD = AE\end{cases}$，
∴△ABD≌△ACE(SAS)。
(2) 解：当β = 2α时，△ABG≌△FDG。
理由如下：
∵AB = AC，∠BAC = β，
∴∠ABG = ∠ACB = $\frac{1}{2}$(180° - β) = 90° - $\frac{1}{2}$β。
∵AD = AE，∠DAE = β，
∴∠ADE = ∠AED = $\frac{1}{2}$(180° - β) = 90° - $\frac{1}{2}$β，即∠FDG = 90° - $\frac{1}{2}$β。
∵∠ABD = 90°，∠ADB = α，
∴∠BAD = 90° - α。
∵∠BAC = β，
∴∠CAD = ∠BAC - ∠BAD = β - (90° - α) = β + α - 90°。
在△AGC中，∠AGC = 180° - ∠ACB - ∠CAD = 180° - (90° - $\frac{1}{2}$β) - (β + α - 90°) = 180° - 90° + $\frac{1}{2}$β - β - α + 90° = 180° - $\frac{1}{2}$β - α。
∵∠AGB = 180° - ∠AGC，
∴∠AGB = 180° - (180° - $\frac{1}{2}$β - α) = $\frac{1}{2}$β + α。
∵∠FGD = ∠AGB，
∴∠FGD = $\frac{1}{2}$β + α。
若△ABG≌△FDG，则∠AGB = ∠FGD（已证），∠ABG = ∠FDG（已证），GB = GD，
∴∠GBD = ∠ADB = α。
∵∠ABD = 90°，∠ABG = 90° - $\frac{1}{2}$β，
∴∠GBD = ∠ABD - ∠ABG = 90° - (90° - $\frac{1}{2}$β) = $\frac{1}{2}$β，
∴$\frac{1}{2}$β = α，即β = 2α。