《2025年赢在暑假抢分计划八年级数学人教版》

例1 (绥化)在$Rt△ABC$中,$∠C = 90^{\circ}$,若$AB - AC = 2$,$BC = 8$,则AB的长是17。
剖析：$\because ∠C = 90^{\circ}$,$AB - AC = 2$,$BC = 8$,$\therefore AC^{2}+BC^{2}= AB^{2}$,即$(AB - 2)^{2}+8^{2}= AB^{2}$,解得$AB = 17$。
解答：17。

答案： 解：
∵∠C=90°，AB-AC=2，BC=8，
∴AC²+BC²=AB²，
即(AB-2)²+8²=AB²，
解得AB=17。
17

例2 (青岛)如图,长方体的底面边长分别为1 cm和3 cm,高为6 cm。如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要10cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B,那么所用细线最短需要$2\sqrt{9 + 16n^{2}}$cm。

答案： 【解析】：
本题考查勾股定理的应用。
首先，将长方体展开，连接$AB'$。
由于两点之间线段最短，可以通过勾股定理计算$AB'$的长度。
在展开图中，$AB'$是直角三角形的斜边，直角边的长度分别为$8cm$（底面周长的一半，即$(3+1)× 2 ÷ 2=4× 2 ÷ 2 =8 ÷ 2=4(cm)$的两倍）和$6cm$（长方体的高）。
根据勾股定理，$AB'=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10(cm)$。
如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么相当于直角三角形的两条直角边分别是$8n$和$6$。
再次应用勾股定理，所用细线最短需要$\sqrt{6^{2}+(8n)^{2}}=\sqrt{36+64n^{2}}=2\sqrt{9+16n^{2}}(cm)$。
【答案】：
10；$2\sqrt{9+16n^{2}}$