《2025年赢在暑假抢分计划八年级数学人教版》

18. (8分)(望花区校级期末)如图,在$\triangle ABC$中,$AB= 9$,$AC= 12$,$BC= 15$。
(1)直接写出$\triangle ABC$的形状是直角三角形；
(2)若点$P为线段AC$上一点,连接$BP$,且$BP= CP$,求$AP$的长。

解：设$AP=x$，则$CP=AC-AP=12-x$。
因为$BP=CP$，所以$BP=12-x$。
由于$\triangle ABC$是直角三角形，$\angle A=90^\circ$，
在$Rt\triangle ABP$中，由勾股定理得：$AB^2 + AP^2 = BP^2$，
即$9^2 + x^2 = (12 - x)^2$，
解得$x=\frac{21}{8}$，
故$AP$的长是$\frac{21}{8}$。

答案：
(1)直角三角形
(2)解：设$AP=x$，则$CP=AC-AP=12-x$。
因为$BP=CP$，所以$BP=12-x$。
由于$\triangle ABC$是直角三角形，$\angle A=90^\circ$，
在$Rt\triangle ABP$中，由勾股定理得：$AB^2 + AP^2 = BP^2$，
即$9^2 + x^2 = (12 - x)^2$，
解得$x=\frac{21}{8}$，
故$AP$的长是$\frac{21}{8}$。

19. (9分)(绥德县期中)如图,网格中每个小正方形的边长都为1。四边形$ABCD$的四个顶点都在格点上。
(1)求四边形$ABCD$的面积和周长；
(2)$\angle BAD$是直角吗？请判断并说明理由。

答案：
(1)解：四边形$ABCD$的面积$=4×5 - \frac{1}{2}×2×1 - \frac{1}{2}×5×1 - \frac{1}{2}×2×4 - \frac{1}{2}×(1 + 3)×1$
$=20 - 1 - 2.5 - 4 - 2$
$=10.5$
由勾股定理得：
$CD = \sqrt{1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5}$，$AD = \sqrt{1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5}$，$AB = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$，$BC = \sqrt{1^{2} + 5^{2}} = \sqrt{26}$
四边形$ABCD$的周长$=CD + AD + AB + BC$
$=\sqrt{5} + \sqrt{5} + 2\sqrt{5} + \sqrt{26}$
$=4\sqrt{5} + \sqrt{26}$
(2)解：$\angle BAD$是直角，理由如下：
连接$BD$，由勾股定理得$BD^{2}=3^{2} + 4^{2}=25$
$\because AD^{2} + AB^{2}=(\sqrt{5})^{2} + (2\sqrt{5})^{2}=5 + 20=25$
$\therefore BD^{2}=AD^{2} + AB^{2}$
$\therefore \triangle BAD$是直角三角形，$\angle BAD = 90^{\circ}$

20. (12分)(建湖县期中)如图,在$\triangle ABC$中,$AB的垂直平分线分别交AB,AC及BC的延长线于点D,E,F$,且$CB^{2}= AE^{2}-CE^{2}$。
(1)求证：$\angle ACB= 90^{\circ}$；
(2)若$AC= 12$,$BC= 9$,求$CE$的长。

答案：
(1)证明：连接$BE$，
∵$ED$垂直平分$AB$，
∴$AE=BE$，
∵$CB^{2}=AE^{2}-CE^{2}$，
∴$CB^{2}=BE^{2}-CE^{2}$，
∴$CB^{2}+CE^{2}=BE^{2}$，
∴$\triangle BEC$是直角三角形，$\angle ECB=90^{\circ}$，
即$\angle ACB=90^{\circ}$；
(2)设$CE=x$，则$AE=AC-CE=12-x$，
∵$AE=BE$，
∴$BE=12-x$，
在$Rt\triangle BEC$中，$BC=9$，$\angle ECB=90^{\circ}$，
∴$CB^{2}+CE^{2}=BE^{2}$，
即$9^{2}+x^{2}=(12-x)^{2}$，
解得$x=\frac{21}{8}$，
∴$CE=\frac{21}{8}$。