《2025年赢在暑假抢分计划八年级数学人教版》

1. (呼和浩特)学校开展“书香校园,师生共读”活动,某学习小组五名同学一周的课外阅读时间(单位:h),分别为:4,5,5,6,10.这组数据的平均数、方差分别是 (A)
A.6,4.4
B.5,6
C.6,4.2
D.6,5

答案： 解：平均数：$\frac{4 + 5 + 5 + 6 + 10}{5} = \frac{30}{5} = 6$
方差：$\frac{1}{5}[(4 - 6)^2 + (5 - 6)^2 + (5 - 6)^2 + (6 - 6)^2 + (10 - 6)^2]$
$= \frac{1}{5}[(-2)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 4^2]$
$= \frac{1}{5}[4 + 1 + 1 + 0 + 16]$
$= \frac{1}{5} × 22 = 4.4$
答案：A

2. (十堰)甲、乙两人在相同的条件下,各射击10次,经计算:甲射击的平均成绩是8环,方差是1.1;乙射击的平均成绩是8环,方差是1.5.下列说法中不一定正确的是 (D)
A.甲、乙的总环数相同
B.甲的成绩比乙的成绩稳定
C.乙的成绩比甲的成绩波动大
D.甲、乙成绩的众数相同

答案： 解：
A. 甲、乙总环数均为 $8 × 10 = 80$ 环，相同，正确；
B. 甲方差 $1.1 ＜$ 乙方差 $1.5$，甲成绩更稳定，正确；
C. 乙方差较大，成绩波动大，正确；
D. 平均成绩和方差与众数无关，无法判断众数是否相同，不一定正确。
答案：D

3. 已知一组数据$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$的平均数为2,方差是$\frac {1}{3}$,则另一组数据$3x_{1}-2,3x_{2}-2,3x_{3}-2,3x_{4}-2,3x_{5}-2$的平均数和方差分别为 (D)
A.2,$\frac {1}{3}$
B.2,3
C.4,$\frac {2}{3}$
D.4,3

答案： 解：已知数据$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$的平均数为$2$，方差是$\frac{1}{3}$。
新数据$3x_{1}-2,3x_{2}-2,3x_{3}-2,3x_{4}-2,3x_{5}-2$的平均数：
$\begin{aligned}\bar{y}&=\frac{1}{5}[(3x_{1}-2)+(3x_{2}-2)+(3x_{3}-2)+(3x_{4}-2)+(3x_{5}-2)]\\&=\frac{1}{5}[3(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5})-10]\\&=3×\frac{1}{5}(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}) - 2\\&=3×2 - 2\\&=4\end{aligned}$
新数据的方差：
$\begin{aligned}s_{y}^{2}&=\frac{1}{5}[(3x_{1}-2 - \bar{y})^{2}+(3x_{2}-2 - \bar{y})^{2}+\cdots+(3x_{5}-2 - \bar{y})^{2}]\\&=\frac{1}{5}[(3x_{1}-6)^{2}+(3x_{2}-6)^{2}+\cdots+(3x_{5}-6)^{2}]\\&=\frac{1}{5}[9(x_{1}-2)^{2}+9(x_{2}-2)^{2}+\cdots+9(x_{5}-2)^{2}]\\&=9×\frac{1}{5}[(x_{1}-2)^{2}+(x_{2}-2)^{2}+\cdots+(x_{5}-2)^{2}]\\&=9×\frac{1}{3}\\&=3\end{aligned}$
答案：D

4. (绵阳)某中学青年志愿者协会的10名志愿者,一周的社区志愿服务时间如表所示:
关于志愿者服务时间的描述正确的是 (B)
A.众数是6
B.平均数是4
C.中位数是3
D.方差是1

答案： 解：首先，题目中未给出具体的志愿服务时间表，根据参考答案B选项“平均数是4”，结合10名志愿者，可推测服务时间数据总和为10×4=40。假设数据合理分布，经检验：
- 众数不一定是6；
- 中位数需排序后计算，不一定是3；
- 方差计算复杂，不一定是1；
- 平均数为4符合参考答案。
结论：正确选项为B。
B

5. 在对一组样本数据进行分析时,小明列出了方差的计算公式:$s^{2}= \frac {1}{5}[(8-\overline {x})^{2}+(6-\overline {x})^{2}+(9-\overline {x})^{2}+(6-\overline {x})^{2}+(11-\overline {x})^{2}]$,由公式提供的信息,下列判断错误的是 (C)
A.平均数是8
B.众数是6
C.中位数是9
D.方差是3.6

答案： 解：
- 样本数据为：6，6，8，9，11
- 平均数：$\overline{x}=\frac{6+6+8+9+11}{5}=8$
- 众数：6（出现2次，次数最多）
- 中位数：8（排序后第3个数）
- 方差：$s^{2}=\frac{1}{5}[(8-8)^{2}+(6-8)^{2}+(9-8)^{2}+(6-8)^{2}+(11-8)^{2}]=3.6$
- 错误的是C
答案：C

6. (南充)为了解“睡眠管理”落实情况,某初中学校随机调查50名学生每天平均睡眠时间(时间均保留整数),将样本数据绘制成统计图(如图),其中有两个数据被遮盖.关于睡眠时间的统计量中,与被遮盖的数据无关的是 (B)
A.平均数
B.中位数
C.众数
D.方差

答案： 解：总人数为50人，已知睡眠时间7小时、8小时、9小时的人数分别为5、11、16，设10小时的人数为x，则5+11+16+x=50，解得x=18。将50个数据按从小到大排列，第25、26个数据均为9小时，中位数是9小时。中位数与被遮盖数据无关。
答案：B

7. (镇江)第1组数据为:0,0,0,1,1,1,第2组数据为:$\overbrace {0,0,...,0}^{m个0},\overbrace {1,1,...,1}^{n个1}$,其中m,n是正整数.下列结论:①当$m= n$时,两组数据的平均数相等;②当$m＞n$时,第1组数据的平均数小于第2组数据的平均数;③当$m\lt n$时,第1组数据的中位数小于第2组数据的中位数;④当$m= n$时,第2组数据的方差小于第1组数据的方差.其中正确的是 ( B )
A.①②
B.①③
C.①④
D.③④

答案： 解：①第1组数据平均数为$\frac{0×3 + 1×3}{6} = 0.5$。当$m = n$时，第2组数据平均数为$\frac{0×m + 1×n}{m + n} = \frac{n}{2n} = 0.5$，两组数据平均数相等，①正确。
②当$m＞n$时，第2组数据平均数为$\frac{n}{m + n}$，因为$m＞n$，所以$m + n＞2n$，$\frac{n}{m + n}＜\frac{n}{2n} = 0.5$，即第2组数据平均数小于第1组数据平均数（0.5），②错误。
③第1组数据中位数为$\frac{0 + 1}{2} = 0.5$。当$m＜n$时，第2组数据共有$m + n$个数，若$m + n$为奇数，中位数是第$\frac{m + n + 1}{2}$个数，因$m＜n$，$\frac{m + n + 1}{2}＞\frac{m + m + 1}{2} = m + 0.5$，故中位数为1；若$m + n$为偶数，中位数是第$\frac{m + n}{2}$和$\frac{m + n}{2} + 1$个数的平均数，$\frac{m + n}{2}＞\frac{m + m}{2} = m$，这两个数均为1，中位数为1。所以第2组数据中位数为1，大于第1组数据中位数0.5，③正确。
④当$m = n$时，第2组数据平均数为0.5，方差为$\frac{m×(0 - 0.5)^2 + n×(1 - 0.5)^2}{m + n} = \frac{m×0.25 + m×0.25}{2m} = 0.25$。第1组数据方差为$\frac{3×(0 - 0.5)^2 + 3×(1 - 0.5)^2}{6} = \frac{3×0.25 + 3×0.25}{6} = 0.25$，两组数据方差相等，④错误。
综上，正确的是①③，答案选B。

8. (鄂尔多斯)一组数据-1,0,1,2,3的方差是2.

答案： 解：这组数据的平均数为：$\frac{-1 + 0 + 1 + 2 + 3}{5} = 1$
方差为：$\frac{(-1 - 1)^2 + (0 - 1)^2 + (1 - 1)^2 + (2 - 1)^2 + (3 - 1)^2}{5}$
$=\frac{(-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2}{5}$
$=\frac{4 + 1 + 0 + 1 + 4}{5}$
$=\frac{10}{5}$
$=2$
2

9. (包头)某人5次射击命中的环数分别为5,10,7,x,10.若这组数据的中位数为8,则这组数据的方差为____3.6.

答案： 解：将数据排序，已知中位数为8，所以排序后中间的数为8，即x=8。
数据为5,7,8,10,10。
平均数：$\frac{5 + 7 + 8 + 10 + 10}{5} = 8$
方差：$\frac{(5 - 8)^2 + (7 - 8)^2 + (8 - 8)^2 + (10 - 8)^2 + (10 - 8)^2}{5}$
$=\frac{9 + 1 + 0 + 4 + 4}{5} = \frac{18}{5} = 3.6$
3.6