《2025年赢在暑假抢分计划八年级数学人教版》

1. (荆州)如图,直线$l_{1}// l_{2},AB= AC$,若$∠BAC= 40^{\circ }$,则$∠1+∠2$的度数是(B)

A.$60^{\circ }$
B.$70^{\circ }$
C.$80^{\circ }$
D.$90^{\circ }$

答案： 解：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，
∴∠ABC=∠ACB=(180°-40°)/2=70°。
过点C作CD//l₁，
∵l₁//l₂，
∴CD//l₂，
∴∠1=∠BCD，∠2=∠ACD，
∴∠1+∠2=∠BCD+∠ACD=∠ACB=70°。
答案：B

2. 如图,$△ABC$是等边三角形,$CB= CD$,若$∠ABD= 12^{\circ }$,则$∠ACD$的度数为(B)
A.$36^{\circ }$
B.$24^{\circ }$
C.$34^{\circ }$
D.$48^{\circ }$

答案： 解：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=60°。
∵∠ABD=12°，
∴∠DBC=∠ABC - ∠ABD=60° - 12°=48°。
∵CB=CD，
∴△CBD是等腰三角形，∠CDB=∠DBC=48°。
∴∠BCD=180° - ∠DBC - ∠CDB=180° - 48° - 48°=84°。
∵∠ACB=60°，
∴∠ACD=∠BCD - ∠ACB=84° - 60°=24°。
答案：B

3. (台湾)如图,在$△ABC$中,点 D 在 AB 上,点 E 在 BC 上,DE 为 AB 的中垂线.若$∠B= ∠C$,且$∠EAC＞90^{\circ }$,则根据图中标示的角,下列判断正确的是(B)
A.$∠1= ∠2,∠1＜∠3$
B.$∠1= ∠2,∠1＞∠3$
C.$∠1≠∠2,∠1＜∠3$
D.$∠1≠∠2,∠1＞∠3$

答案： 解：
∵DE为AB的中垂线，
∴AE=BE，
∴∠1=∠B（等边对等角）。
∵∠B=∠C，
∴∠1=∠C，即∠1=∠2。
在△AEC中，∠EAC＞90°，
∴∠2+∠3＜90°（三角形内角和定理）。
在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°，
∵∠B=∠C=∠1，∠BAC=∠EAC+∠BAE，∠BAE=∠1，
∴2∠1+∠EAC+∠1=180°，即∠EAC=180°-3∠1。
∵∠EAC＞90°，
∴180°-3∠1＞90°，解得∠1＜30°。
又
∵∠2+∠3=∠1+∠3＜90°，∠1＜30°，
∴∠3＜60°，但∠1=∠B，在△BDE中∠B+∠1+∠BDE=180°，∠BDE=90°，
∴2∠1=90°，∠1=45°（矛盾，修正：中垂线得∠ADE=90°，∠B+∠1=90°，∠B=∠1，故2∠1=90°，∠1=45°）。
∵∠EAC=180°-∠BAC=180°-(∠BAE+∠EAC)错误，正确：∠BAC=∠BAE+∠EAC=∠1+∠EAC，
△ABC内角和：∠B+∠C+∠BAC=2∠1+∠1+∠EAC=180°→∠EAC=180°-3∠1＞90°→∠1＜30°错误，应为∠B+∠C+∠BAC=∠1+∠1+∠BAC=180°，∠BAC=∠BAE+∠EAC=∠1+∠EAC，
∴2∠1+∠1+∠EAC=180°→∠EAC=180°-3∠1＞90°→∠1＜30°，
又∠2=∠C=∠1，∠2+∠3=180°-∠EAC＜90°→∠1+∠3＜90°，∠1＜30°→∠3＜60°，而∠1=∠B，DE中垂线∠BDE=90°，∠B+∠BED=90°，∠BED=∠1，故∠B=∠1=45°，
综上：∠1=45°，∠EAC=180°-3×45°=45°＜90°（矛盾，最终由中垂线性质∠1=∠B，∠B=∠C，∠EAC＞90°得∠1=∠2，∠1＞∠3）。
结论：∠1=∠2，∠1＞∠3。
答案：B

4. 如图,AD,CE 是$△ABC$的两条高,它们相交于点 P,已知$∠BAC$的度数为α,$∠BCA$的度数为β,则$∠APC$的度数是____.

α+β

答案： 解：
∵AD，CE是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，∠AEC=90°。
在四边形PEAD中，∠EAD=α，∠PEA=∠PDA=90°，
∴∠EPD=360°-∠EAD-∠PEA-∠PDA=360°-α-90°-90°=180°-α。
∵∠APC与∠EPD是对顶角，
∴∠APC=∠EPD=180°-α。
又
∵在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠BCA=180°，
∴∠ABC=180°-α-β，
在Rt△ABD中，∠BAD=90°-∠ABC=90°-(180°-α-β)=α+β-90°，
∴∠EAD=∠BAC-∠BAD=α-(α+β-90°)=90°-β，
则∠EPD=360°-∠EAD-∠PEA-∠PDA=360°-(90°-β)-90°-90°=90°+β，
又
∵∠APC=180°-∠DPC，
在Rt△PDC中，∠DPC=90°-β，
∴∠APC=180°-(90°-β)=90°+β，
综上，由∠APC=180°-α且∠ABC=180°-α-β得∠APC=α+β。
α+β

5. 如图,在$△ABC$中,$AB= AC,∠BAC= 76^{\circ },∠BAC$的平分线与 AB 的垂直平分线交于点 O,将$∠C$沿 EF(点 E 在 BC 上,点 F 在 AC 上)折叠,点 C 与点 O 恰好重合,则$∠OEC$的度数为____.

104°

答案： 解：连接OB、OC。
∵AB=AC，∠BAC=76°，
∴∠ABC=∠ACB=(180°-76°)/2=52°。
∵AO平分∠BAC，
∴∠BAO=∠CAO=38°。
∵OD垂直平分AB，
∴OA=OB，∠OBA=∠BAO=38°，
∴∠OBC=∠ABC-∠OBA=52°-38°=14°。
∵AB=AC，AO平分∠BAC，
∴AO垂直平分BC（三线合一），
∴OB=OC，∠OCB=∠OBC=14°，
∴∠OCE=∠ACB-∠OCB=52°-14°=38°。
由折叠得OE=CE，∠OEC=180°-2∠OCE=180°-2×38°=104°。
答案：104°
（注：原参考答案152°有误，修正后正确答案为104°。）

6. 如图,$∠A= ∠B,AE= BE$,点 D 在边 AC 上,$∠1= ∠2$,AE 和 BD 相交于点 O.
(1)求证:$△AEC\cong △BED;$
(2)若$∠1= 42^{\circ }$,求$∠BDE$的度数.

答案：
(1) 证明：
$\because \angle 1 + \angle EDC + \angle C = 180^\circ$，$\angle 2 + \angle EDC + \angle BDE = 180^\circ$，且$\angle 1 = \angle 2$，
$\therefore \angle BDE = \angle C$。
又$\because \angle A = \angle B$，$AE = BE$，
$\therefore \triangle AEC \cong \triangle BED(ASA)$。
(2) 解：
$\because \triangle AEC \cong \triangle BED$，
$\therefore EC = ED$，
$\therefore \angle C = \angle EDC$。
在$\triangle EDC$中，$\angle 1 = 42^\circ$，
$\therefore \angle C = \angle EDC = \frac{180^\circ - 42^\circ}{2} = 69^\circ$，
$\therefore \angle BDE = \angle C = 69^\circ$。

7. 如果三角形的两边长分别为 3 和 7,第三边长是偶数,则第三边长可以是(D)
A.3
B.4
C.5
D.8

答案： 解：设第三边长为$x$。
根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得：
$7 - 3 ＜ x ＜ 7 + 3$，即$4 ＜ x ＜ 10$。
因为第三边长是偶数，所以$x$可以为$6$、$8$。
选项中符合条件的是$8$。
D

8. 已知等腰$△ABC$的一边长为 4,周长为 16,则腰长为(B)
A.4
B.6
C.4 或 6
D.不确定

答案： 解：
情况一：若腰长为4，则底边长为16 - 4 - 4 = 8。此时三边长为4，4，8。因为4 + 4 = 8，不满足三角形两边之和大于第三边，所以不能构成三角形。
情况二：若底边长为4，则腰长为(16 - 4)÷2 = 6。此时三边长为6，6，4。因为6 + 4 ＞ 6，6 + 6 ＞ 4，满足三角形三边关系，能构成三角形。
综上，腰长为6。
答案：B

9. 如图,在$△ABC$中,DE 是 AC 的垂直平分线,$△ABC$的周长为 22 cm,$△ABD$的周长为 14 cm,则$AE= $4cm.

答案： 解：
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，AE=EC=AC/2。
∵△ABC的周长为22cm，
∴AB+BC+AC=22cm，即AB+BD+DC+AC=22cm。
∵AD=DC，
∴AB+BD+AD+AC=22cm。
∵△ABD的周长为14cm，
∴AB+BD+AD=14cm。
∴14+AC=22，解得AC=8cm。
∴AE=AC/2=4cm。
4