《2025年赢在暑假抢分计划八年级数学人教版》

1. (安徽)两个矩形的位置如图所示,若∠1= α,则∠2的度数为 (C)
A.α-90°
B.α-45°
C.180°-α
D.270°-α

答案： 解：如图，记∠1与∠2之间的角为∠3。
∵矩形的四个角均为直角，
∴∠1 + ∠3 = 180°，∠2 + ∠3 = 180°，
∴∠2 = ∠1 = α（错误，修正）。
重新分析：过∠1与∠2的公共顶点作水平线，根据矩形对边平行，由平行线性质得∠1的补角与∠2的补角之和为180°，即（180° - ∠1） + （180° - ∠2） = 180°，
化简得∠2 = 180° - ∠1 = 180° - α。
答案：C

2. (河池)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列结论中错误的是 (C)
A.AB= AD
B.AC⊥BD
C.AC= BD
D.∠DAC= ∠BAC

答案： 解：在菱形ABCD中，
- 菱形的四条边相等，所以AB=AD，选项A正确；
- 菱形的对角线互相垂直，所以AC⊥BD，选项B正确；
- 菱形的对角线不一定相等，选项C错误；
- 菱形的对角线平分一组对角，所以∠DAC=∠BAC，选项D正确。
答案：C

3. (滨州)下列命题,其中是真命题的是 (D)
A.对角线互相垂直的四边形是平行四边形
B.有一个角是直角的四边形是矩形
C.对角线互相平分的四边形是菱形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形

答案： 解：A. 对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，假命题；
B. 有一个角是直角的四边形不一定是矩形，假命题；
C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是菱形，假命题；
D. 对角线互相垂直的矩形是正方形，真命题。
答案：D

4. (青海)如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,D是AB的中点,延长CB至点E,使BE= BC,连接DE,F为DE的中点,连接BF.若AC= 16,BC= 12,则BF的长为 (A)
A.5
B.4
C.6
D.8

答案： 解：
连接CD，过点D作DG⊥BC于点G。
∵∠ACB=90°，AC=16，BC=12，
∴AB=√(AC²+BC²)=√(16²+12²)=20。
∵D是AB中点，
∴CD=BD=1/2AB=10，DG=1/2AC=8，CG=GB=1/2BC=6。
∵BE=BC=12，
∴GE=GB+BE=6+12=18。
在Rt△DGE中，DE=√(DG²+GE²)=√(8²+18²)=√388=2√97。
∵F是DE中点，B是CE中点（CB=BE），
∴BF是△CDE的中位线，
∴BF=1/2CD=1/2×10=5。
答案：A

5. 如图,菱形花坛ABCD的边长为6m,∠B= 60°,其中由两个正六边形组成的图形部分种花,则种花部分的图形的周长为 (B)
A.12$\sqrt{3}$m
B.20m
C.22m
D.24m

答案： 解：设正六边形边长为 $ x $。
菱形 $ ABCD $ 边长为 6m，$ \angle B = 60^\circ $，则 $ \triangle ABC $ 为等边三角形，边长 6m。
正六边形内角为 $ 120^\circ $，与菱形边构成的小三角形为等边三角形，边长为 $ x $。
由图形对称性及边长关系：$ x + 2x = 6 $，解得 $ x = 2 $。
种花部分由两个正六边形组成，重叠 2 条边，周长为 $ 6x + 6x - 2x = 10x = 10 × 2 = 20 \, \text{m} $。
答案：B

6. (重庆)如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.E,F分别为AC,BD上一点,且OE= OF,连接AF,BE,EF.若∠AFE= 25°,则∠CBE的度数为 (C)
A.50°
B.55°
C.65°
D.70°

答案： 解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA=OB=OC=OD，∠AOB=∠BOC=90°，∠OBC=45°．
∵OE=OF，∠AOF=∠BOE=90°，OA=OB，
∴△AOF≌△BOE（SAS），
∴∠OAF=∠OBE．
设∠OAF=∠OBE=x，
在Rt△EOF中，OE=OF，
∴∠OEF=45°．
∵∠AFE=25°，∠AEO=∠AFE+∠OAF=25°+x，
又∠AEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF，
且∠AEO+∠OEB=180°（平角定义），∠OEB=90°-x（Rt△BOE中），
∴25°+x + 90°-x = 180°（矛盾，修正：直接在△AEF中，∠AEF=∠OEF+∠OEA？重新推导）
在△OEF中，∠OEF=45°，∠AFE=25°，
∠OFA=∠OFE - ∠AFE=45° - 25°=20°（错误，应为∠OFA=∠OFE + ∠AFE？）
正确：∠AFO=∠AFE + ∠EFO，
∵∠EFO=45°（△EOF等腰直角），
∴∠AFO=25°+45°=70°，
在Rt△AOF中，∠OAF=90°-70°=20°，
∴∠OBE=∠OAF=20°，
∴∠CBE=∠OBC + ∠OBE=45°+20°=65°．
答案：C

7. (包头)如图,在矩形ABCD中,AD＞AB,点E,F分别在AD,BC边上,EF//AB,AE= AB,AF与BE相交于点O,连接OC.若BF= 2CF,则OC与EF之间的数量关系正确的是 (A)

A.2OC= $\sqrt{5}$EF
B.$\sqrt{5}$OC= 2EF
C.2OC= $\sqrt{3}$EF
D.OC= EF

答案： 解：设 $ CF = x $，则 $ BF = 2x $，$ BC = 3x $。
设 $ AB = AE = y $，则 $ EF = AB = y $，$ DE = AD - AE = 3x - y $（矩形对边相等，$ AD = BC = 3x $）。
$ \because EF // AB $，$ AE // BF $，
$ \therefore \triangle AOE \sim \triangle FOB $，相似比 $ \frac{AE}{BF} = \frac{y}{2x} $。
设 $ O $ 到 $ AB $ 的距离为 $ h_1 $，到 $ EF $ 的距离为 $ h_2 $，则 $ h_1 + h_2 = AE = y $，且 $ \frac{h_2}{h_1} = \frac{y}{2x} $，解得 $ h_1 = \frac{2x}{2x + y}y $，$ h_2 = \frac{y^2}{2x + y} $。
以 $ B $ 为原点，$ BA $ 为 $ y $ 轴，$ BC $ 为 $ x $ 轴建立坐标系：
$ B(0,0) $，$ C(3x,0) $，$ O\left( \frac{2xy}{2x + y}, \frac{2xy}{2x + y} \right) $。
由 $ EF // AB $，$ E $ 在 $ AD $ 上，$ F $ 在 $ BC $ 上，得 $ E(y, y) $，$ F(2x, 0) $，$ EF $ 方程为 $ x = y $（$ EF $ 横坐标为 $ y $），故 $ y = 2x $（矩形中 $ AD = BC = 3x $，$ AE = y $，$ DE = 3x - y $，$ EF = AB = y $，$ CF = x $，得 $ y = 2x $）。
代入 $ y = 2x $，$ O(x, x) $，$ C(3x,0) $，则 $ OC = \sqrt{(3x - x)^2 + (0 - x)^2} = \sqrt{5}x $，$ EF = y = 2x $。
$ \therefore 2OC = 2\sqrt{5}x = \sqrt{5} \cdot 2x = \sqrt{5}EF $。
结论：$ 2OC = \sqrt{5}EF $。
A

8. (绍兴)如图,在□ABCD中,AD= 2AB= 2,∠ABC= 60°,E,F是对角线BD上的动点,且BE= DF,M,N分别是边AD,边BC上的动点.下列四种说法:①存在无数个平行四边形MENF;②存在无数个矩形MENF;③存在无数个菱形MENF;④存在无数个正方形MENF.其中正确的个数是 (C)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 解：在□ABCD中，AD=2AB=2，∠ABC=60°，则AB=1，AD=2。
① 连接MN，当MN过EF中点时，四边形MENF为平行四边形。由于E、F可动且BE=DF，M、N可动，存在无数种情况，故①正确。
② 当MN=EF且MN过EF中点时，四边形MENF为矩形。E、F移动可改变EF长度，M、N移动可调整MN长度，存在无数种情况，故②正确。
③ 当MN⊥EF且MN过EF中点时，四边形MENF为菱形。E、F、M、N的移动可满足垂直条件，存在无数种情况，故③正确。
④ 正方形需同时满足矩形和菱形条件，即MN=EF且MN⊥EF。但□ABCD中∠ABC=60°，BD固定，EF长度与MN垂直条件难以同时满足无数种情况，故④错误。
综上，正确的有①②③，共3个。
答案：C