《2025年赢在暑假抢分计划八年级数学人教版》

12. 若$\frac {□}{x+y}÷\frac {x}{y^{2}-x^{2}}$运算的结果为整式,则“□”中的式子可能是 (C)
A.$y-x$
B.$y+x$
C.$2x$
D.$2y$

答案： 解：设“□”中的式子为 $ A $，则原式为：
$\frac{A}{x+y} ÷ \frac{x}{y^2 - x^2}$
$=\frac{A}{x+y} \cdot \frac{(y-x)(y+x)}{x}$
$=\frac{A(y-x)}{x}$
要使结果为整式，则 $ x $ 整除 $ A(y-x) $。
A. 若 $ A = y - x $，则原式 $ = \frac{(y-x)^2}{x} $，不是整式；
B. 若 $ A = y + x $，则原式 $ = \frac{(y+x)(y-x)}{x} = \frac{y^2 - x^2}{x} $，不是整式；
C. 若 $ A = 2x $，则原式 $ = \frac{2x(y - x)}{x} = 2(y - x) $，是整式；
D. 若 $ A = 2y $，则原式 $ = \frac{2y(y - x)}{x} $，不是整式。
结论：C

13. (玉林)若 x 是非负整数,则表示$\frac {2x}{x+2}-\frac {x^{2}-4}{(x+2)^{2}}$的值的对应点落在如图数轴上的范围是 (B)
A.①
B.②
C.③
D.①或②

答案： 解：原式$=\frac{2x(x+2)-(x^2-4)}{(x+2)^2}$
$=\frac{2x^2+4x - x^2 + 4}{(x+2)^2}$
$=\frac{x^2 + 4x + 4}{(x+2)^2}$
$=\frac{(x+2)^2}{(x+2)^2}=1$
∵x是非负整数，且$x+2≠0$，即$x≠-2$，
∴x为0，1，2，…时，原式值均为1。
数轴上1落在范围②内。
答案：B

14. 下列结论:①不论 a 为何值时,$\frac {a}{a^{2}+1}$都有意义;②$a= -1$时,分式$\frac {a+1}{a^{2}-1}$的值为 0;③若$\frac {x^{2}+1}{x-1}$的值为负,则 x 的取值范围是$x＜1$;④若$\frac {x+1}{x+2}÷\frac {x+1}{x}$有意义,则 x 的取值范围是$x≠-2且x≠0$.其中正确的序号有 ①③.

答案： 解：①对于$\frac{a}{a^2 + 1}$，分母$a^2 + 1$，因为任何数的平方都大于等于0，所以$a^2 + 1 \geq 1 ＞ 0$，分母恒不为0，故不论$a$为何值，该分式都有意义，①正确。
②当$a = -1$时，分式$\frac{a + 1}{a^2 - 1}$的分母$a^2 - 1 = (-1)^2 - 1 = 0$，分式无意义，故②错误。
③$\frac{x^2 + 1}{x - 1}$的值为负，因为分子$x^2 + 1 \geq 1 ＞ 0$，所以分母$x - 1 ＜ 0$，即$x ＜ 1$，③正确。
④$\frac{x + 1}{x + 2} ÷ \frac{x + 1}{x} = \frac{x + 1}{x + 2} × \frac{x}{x + 1}$，要使原式有意义，需分母$x + 2 \neq 0$，$x \neq 0$，且除数$\frac{x + 1}{x} \neq 0$，即$x + 1 \neq 0$，所以$x \neq -2$，$x \neq 0$，$x \neq -1$，故④错误。
正确的序号有①③。
答案：①③

15. 计算:
(1)$\frac {ab+b^{2}}{5ab^{2}}\cdot \frac {15a^{2}b}{a^{2}-b^{2}};$
(2)(泸州)$(\frac {m^{2}-3m+1}{m}+1)÷\frac {m^{2}-1}{m}.$

答案：
(1)解：原式$=\frac{b(a+b)}{5ab^{2}}\cdot \frac{15a^{2}b}{(a+b)(a-b)}$
$=\frac{15a^{2}b^{2}(a+b)}{5ab^{2}(a+b)(a-b)}$
$=\frac{3a}{a - b}$
(2)解：原式$=(\frac{m^{2}-3m + 1 + m}{m})÷\frac{m^{2}-1}{m}$
$=\frac{m^{2}-2m + 1}{m}\cdot\frac{m}{(m + 1)(m - 1)}$
$=\frac{(m - 1)^{2}}{m}\cdot\frac{m}{(m + 1)(m - 1)}$
$=\frac{m - 1}{m + 1}$

16. 先化简,再求值:
(1)(内蒙古)$(\frac {3}{x-1}-x-1)÷\frac {x^{2}-4x+4}{x-1}$,其中$x= 3;$
(2)$\frac {a^{2}-3a}{a+2}÷(a-2-\frac {5}{a+2})+\frac {a^{2}-a}{a+3}$,其中$a^{2}-2a-6= 0.$

答案：
(1)解：原式$=\left(\frac{3}{x-1}-\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}\right)÷\frac{(x-2)^2}{x-1}$
$=\frac{3-(x^2-1)}{x-1}\cdot\frac{x-1}{(x-2)^2}$
$=\frac{4-x^2}{(x-2)^2}$
$=\frac{-(x+2)(x-2)}{(x-2)^2}$
$=-\frac{x+2}{x-2}$
当$x=3$时，原式$=-\frac{3+2}{3-2}=-5$
(2)解：原式$=\frac{a(a-3)}{a+2}÷\left(\frac{(a-2)(a+2)-5}{a+2}\right)+\frac{a(a-1)}{a+3}$
$=\frac{a(a-3)}{a+2}÷\frac{a^2-9}{a+2}+\frac{a(a-1)}{a+3}$
$=\frac{a(a-3)}{a+2}\cdot\frac{a+2}{(a+3)(a-3)}+\frac{a(a-1)}{a+3}$
$=\frac{a}{a+3}+\frac{a(a-1)}{a+3}$
$=\frac{a+a^2-a}{a+3}$
$=\frac{a^2}{a+3}$
$\because a^2-2a-6=0$
$\therefore a^2=2a+6$
则原式$=\frac{2a+6}{a+3}=\frac{2(a+3)}{a+3}=2$

17. (黑龙江)先化简,再求值:$(\frac {3x}{x-2}-\frac {x}{x+2})÷\frac {x}{x^{2}-4}$,在-2,0,1,2 四个数中选一个合适的代入求值.

答案： 解：原式$=\left(\frac{3x}{x-2}-\frac{x}{x+2}\right)÷\frac{x}{x^2 - 4}$
$=\left[\frac{3x(x + 2)-x(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)}\right]\cdot\frac{(x + 2)(x - 2)}{x}$
$=\frac{3x^2 + 6x - x^2 + 2x}{x}$
$=\frac{2x^2 + 8x}{x}$
$=2x + 8$
$\because x=-2$，$0$，$2$时分式无意义，$\therefore x=1$
当$x=1$时，原式$=2×1 + 8=10$