《2025年赢在暑假抢分计划八年级数学人教版》

1. (肥东县期末)下列三个数是勾股数的为(D)
A.$6,8,9$
B.$1,\sqrt{2},\sqrt{3}$
C.$4,5,6$
D.$8,15,17$

答案： 解：勾股数是指满足勾股定理的三个正整数，即$a^2 + b^2 = c^2$，其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边，且$a$、$b$、$c$均为正整数。
A. $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$9^2 = 81$，$100 \neq 81$，不是勾股数。
B. $\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$不是正整数，不是勾股数。
C. $4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$，$6^2 = 36$，$41 \neq 36$，不是勾股数。
D. $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$，$17^2 = 289$，$289 = 289$，且8、15、17均为正整数，是勾股数。
答案：D

2. 如图为一个$6×6$的网格,在$\triangle ABC,\triangle A'B'C',\triangle A''B''C''$三个三角形中,直角三角形有(B)
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个

答案： 解：设网格中小正方形边长为1。
$\triangle ABC$：
- $AC$：横向1，纵向2，$AC^2=1^2+2^2=5$
- $BC$：横向1，纵向1，$BC^2=1^2+1^2=2$
- $AB$：横向0，纵向2，$AB^2=0^2+2^2=4$
- $\because 2+4=6\neq5$，$\therefore$ 不是直角三角形。
$\triangle A'B'C'$：
- $A'B'$：横向2，纵向2，$A'B'^2=2^2+2^2=8$
- $B'C'$：横向2，纵向2，$B'C'^2=2^2+2^2=8$
- $A'C'$：横向0，纵向4，$A'C'^2=0^2+4^2=16$
- $\because 8+8=16$，$\therefore$ 是直角三角形。
$\triangle A''B''C''$：
- $A''B''$：横向3，纵向1，$A''B''^2=3^2+1^2=10$
- $B''C''$：横向3，纵向1，$B''C''^2=3^2+1^2=10$
- $A''C''$：横向4，纵向2，$A''C''^2=4^2+2^2=20$
- $\because 10+10=20$，$\therefore$ 是直角三角形。
直角三角形有2个。
答案：B

3. (漳州)如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC= 5$,$BC= 8$,$D是线段BC$上的动点(不含端点$B$,$C$)。若线段$AD$长为正整数,则点$D$的个数共有(C)
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个

答案： 解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB=AC=5，BC=8，
∴BE=EC=4，
在Rt△ABE中，AE=$\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
∵D是线段BC上的动点（不含端点B，C），
∴AE≤AD＜AB，即3≤AD＜5，
∵AD长为正整数，
∴AD=3或4，
当AD=3时，D与E重合，1个点；
当AD=4时，点D在E两侧各1个，共2个点，
∴点D的个数共有1+2=3个。
答案：C

4. 在$\triangle ABC$中,$\angle A,\angle B,\angle C的对边分别是a,b,c$,下列说法中,不能推出$\triangle ABC$是直角三角形的是(C)
A.$a^{2}-c^{2}= b^{2}$
B.$(a+b)^{2}= c^{2}+2ab$
C.$\angle A:\angle B:\angle C= 3:4:5$
D.$\angle A= 2\angle B= 2\angle C$

答案： 解：A. 由$a^{2}-c^{2}=b^{2}$得$a^{2}=b^{2}+c^{2}$，根据勾股定理逆定理，$\triangle ABC$是直角三角形。
B. 由$(a+b)^{2}=c^{2}+2ab$展开得$a^{2}+2ab+b^{2}=c^{2}+2ab$，化简得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，根据勾股定理逆定理，$\triangle ABC$是直角三角形。
C. 设$\angle A=3x$，$\angle B=4x$，$\angle C=5x$，则$3x+4x+5x=180^{\circ}$，解得$x=15^{\circ}$，$\angle A=45^{\circ}$，$\angle B=60^{\circ}$，$\angle C=75^{\circ}$，三个角均不为$90^{\circ}$，$\triangle ABC$不是直角三角形。
D. 设$\angle A=2x$，则$\angle B=\angle C=x$，$2x+x+x=180^{\circ}$，解得$x=45^{\circ}$，$\angle A=90^{\circ}$，$\triangle ABC$是直角三角形。
答案：C

5. (蜀山区校级期中)已知$a,b,c分别是\triangle ABC$的三边长,且满足$\sqrt{a - 12}+2(b - 13)^{2}+\vert c - 5\vert=0$,则$\triangle ABC$是(B)
A.以$a$为斜边的直角三角形
B.以$b$为斜边的直角三角形
C.以$c$为斜边的直角三角形
D.以$c$为底边的等腰三角形

答案： 解：因为$\sqrt{a - 12} + 2(b - 13)^2 + |c - 5| = 0$，且$\sqrt{a - 12} \geq 0$，$(b - 13)^2 \geq 0$，$|c - 5| \geq 0$，所以$a - 12 = 0$，$b - 13 = 0$，$c - 5 = 0$，解得$a = 12$，$b = 13$，$c = 5$。
又因为$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$，即$c^2 + a^2 = b^2$，所以$\triangle ABC$是以$b$为斜边的直角三角形。
答案：B

6. 一木工师傅测量一个等腰三角形的腰、底边和底边上的高的长,但他把这三个数据与其他数据弄混了,请你帮他找出来,应该是(C)
A.$13,12,12$
B.$12,12,8$
C.$13,10,12$
D.$5,8,4$

答案： 解：对于选项A，假设腰为13，底边为12，高为12。底边一半为6，根据勾股定理，高应为$\sqrt{13^2 - 6^2} = \sqrt{169 - 36} = \sqrt{133} \approx 11.53 \neq 12$，不符合。
假设腰为12，底边为13，高为12。底边一半为6.5，高应为$\sqrt{12^2 - 6.5^2} = \sqrt{144 - 42.25} = \sqrt{101.75} \approx 10.09 \neq 12$，不符合。
对于选项B，假设腰为12，底边为12，高为8。底边一半为6，高应为$\sqrt{12^2 - 6^2} = \sqrt{144 - 36} = \sqrt{108} \approx 10.39 \neq 8$，不符合。
假设腰为12，底边为8，高为12。底边一半为4，高应为$\sqrt{12^2 - 4^2} = \sqrt{144 - 16} = \sqrt{128} \approx 11.31 \neq 12$，不符合。
对于选项C，假设腰为13，底边为10，高为12。底边一半为5，高为$\sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$，符合。
假设腰为13，底边为12，高为10。底边一半为6，高应为$\sqrt{13^2 - 6^2} \approx 11.53 \neq 10$，不符合。
假设腰为10，底边为13，高为12。底边一半为6.5，高应为$\sqrt{10^2 - 6.5^2} = \sqrt{100 - 42.25} = \sqrt{57.75} \approx 7.6 \neq 12$，不符合。但第一种情况成立，所以选项C正确。
对于选项D，假设腰为5，底边为8，高为4。底边一半为4，高应为$\sqrt{5^2 - 4^2} = 3 \neq 4$，不符合。
假设腰为5，底边为4，高为8。底边一半为2，高应为$\sqrt{5^2 - 2^2} = \sqrt{21} \approx 4.58 \neq 8$，不符合。
假设腰为8，底边为5，高为4。底边一半为2.5，高应为$\sqrt{8^2 - 2.5^2} = \sqrt{64 - 6.25} = \sqrt{57.75} \approx 7.6 \neq 4$，不符合。
结论：C

7. (咸安区期末)如图,网格中每个小正方形的边长均为1,点$A,B,C$都在格点上,以点$A$为圆心,$AB$为半径画弧,交最上方的网格线于点$D$,则$CD$的长为(B)
A.$\sqrt{3}-1$
B.$3-\sqrt{5}$
C.$0.8$
D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$

答案： 解：以点A为原点，建立平面直角坐标系。
由网格知，A(0,0)，B(3,0)，C(3,2)，AB=3。
最上方网格线为y=2，设D(x,2)。
∵AD=AB=3，
∴由勾股定理得：$x^2 + 2^2 = 3^2$，
解得$x = \sqrt{5}$（x＞0），即D($\sqrt{5}$,2)。
∴CD=3 - $\sqrt{5}$。
答案：B

8. (定远县期末)在等腰$\triangle ABC$中,$AB= AC= \sqrt{3}$,$BC= 3$,$\angle A= 120^{\circ}$,点$D在边BC$上。若$\triangle ABD$是直角三角形,则$AD$的长度是(B)
A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$或1
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}或\frac{3}{2}$
D.1或$\frac{3}{2}$

答案： 解：在等腰$\triangle ABC$中，$AB=AC=\sqrt{3}$，$\angle BAC=120^\circ$，$BC=3$，点$D$在$BC$上，$\triangle ABD$是直角三角形。
情况1：$\angle ADB=90^\circ$
过$A$作$AD\perp BC$于$D$，则$AD$为$BC$边上的高。
$\because AB=AC$，$\angle BAC=120^\circ$，
$\therefore \angle ABC=\angle ACB=30^\circ$。
在$Rt\triangle ABD$中，$\angle ABD=30^\circ$，$AB=\sqrt{3}$，
$\therefore AD=AB\cdot\sin30^\circ=\sqrt{3}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
情况2：$\angle BAD=90^\circ$
$\because \angle BAC=120^\circ$，$\angle BAD=90^\circ$，
$\therefore \angle CAD=30^\circ$。
在$\triangle ADC$中，$AC=\sqrt{3}$，$\angle ACD=30^\circ$，$\angle CAD=30^\circ$，
$\therefore \angle ADC=120^\circ$，由正弦定理：$\frac{AD}{\sin30^\circ}=\frac{AC}{\sin120^\circ}$，
即$\frac{AD}{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，解得$AD=1$。
综上，$AD$的长度为$\frac{\sqrt{3}}{2}$或$1$。
答案：B

9. 一个三角形的三边之比为$\sqrt{2}:\sqrt{5}:\sqrt{3}$,则这个三角形的形状是直角三角形。

答案： 设三角形的三边长分别为$\sqrt{2}k$，$\sqrt{5}k$，$\sqrt{3}k$（$k＞0$）。
因为$(\sqrt{2}k)^2 + (\sqrt{3}k)^2 = 2k^2 + 3k^2 = 5k^2$，$(\sqrt{5}k)^2 = 5k^2$，
所以$(\sqrt{2}k)^2 + (\sqrt{3}k)^2 = (\sqrt{5}k)^2$。
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形。
直角三角形