《2025年赢在暑假抢分计划八年级数学人教版》

10. 已知两条线段的长为$3cm和2cm$,当第三条线段的长为$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$$cm$时,这三条线段能组成一个直角三角形。

答案： 解：当第三条线段为直角边时，设其长为$x$cm，由勾股定理得$x^2 + 2^2 = 3^2$，解得$x = \sqrt{5}$；当第三条线段为斜边时，设其长为$y$cm，由勾股定理得$2^2 + 3^2 = y^2$，解得$y = \sqrt{13}$。
$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$

11. 一个三角形三边的长分别是$12cm,16cm,20cm$,则这个三角形最长边上的高是____9.6cm。

答案： 解：
因为 $12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 = 20^2$，
所以该三角形是直角三角形，最长边为斜边，长度20cm。
设斜边上的高为$h$，
根据三角形面积公式：$\frac{1}{2} × 12 × 16 = \frac{1}{2} × 20 × h$，
解得$h = \frac{12 × 16}{20} = 9.6$。
9.6cm

12. 已知$a,b,c是\triangle ABC$三边的长,且满足关系$\sqrt{c^{2}-a^{2}-b^{2}}+\vert a - b\vert=0$,则$\triangle ABC$的形状为等腰直角三角形。

答案： 解：因为$\sqrt{c^{2}-a^{2}-b^{2}}+\vert a - b\vert=0$，$\sqrt{c^{2}-a^{2}-b^{2}}\geq0$，$\vert a - b\vert\geq0$，所以$\sqrt{c^{2}-a^{2}-b^{2}}=0$且$\vert a - b\vert=0$。
由$\sqrt{c^{2}-a^{2}-b^{2}}=0$得$c^{2}-a^{2}-b^{2}=0$，即$c^{2}=a^{2}+b^{2}$。
由$\vert a - b\vert=0$得$a = b$。
所以$\triangle ABC$是等腰直角三角形。
答案：等腰直角三角形

13. 如图,$\triangle ABC的顶点A,B,C$在边长为1的正方形网格的格点上,$BD\perp AC于点D$,则$BD$的长为____$\frac{4}{5}\sqrt{5}$。

答案： 解：
由图可知，$A(0,0)$，$B(2,4)$，$C(5,0)$。
$AC$的长度为$5-0=5$。
$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2} × AC ×$高$=\frac{1}{2} × 5 × 4=10$。
又$\triangle ABC$的面积也可表示为$\frac{1}{2} × AC × BD$，即$\frac{1}{2} × 5 × BD=10$。
解得$BD=\frac{4\sqrt{5}}{5}$。
$\frac{4}{5}\sqrt{5}$

14. (蜀山区期末)如图所示的网格是正方形网格,则$\angle ABC+\angle BAC= $45°(点$A,B,C$是网格线交点)。

答案： 解：连接CD（D为点A右下方网格线交点，使△ACD为等腰直角三角形），
由网格性质得：AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠CAD=45°，
又
∵∠ABC=∠CAD，
∴∠ABC+∠BAC=∠CAD=45°。
45°

15. (8分)如图,在$\triangle ABC$中,$AD\perp BC$,$AD= 12$,$BD= 16$,$CD= 5$。
(1)求$\triangle ABC$的周长；
(2)判断$\triangle ABC$是否是直角三角形,并说明理由。

答案：
(1)因为$AD\perp BC$，所以$\triangle ABD$和$\triangle ACD$是直角三角形。
在$Rt\triangle ABD$中，$AD=12$，$BD=16$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AD^{2}+BD^{2}}=\sqrt{12^{2}+16^{2}}=\sqrt{144 + 256}=\sqrt{400}=20$
在$Rt\triangle ACD$中，$AD=12$，$CD=5$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=\sqrt{144 + 25}=\sqrt{169}=13$
因为$BC=BD + CD=16 + 5=21$，所以$\triangle ABC$的周长为$AB + AC + BC=20 + 13 + 21=54$
(2)$\triangle ABC$不是直角三角形。理由如下：
因为$AB=20$，$AC=13$，$BC=21$，所以$AB^{2}+AC^{2}=20^{2}+13^{2}=400 + 169=569$，$BC^{2}=21^{2}=441$
由于$569\neq441$，即$AB^{2}+AC^{2}\neq BC^{2}$，同理可验证$AB^{2}+BC^{2}\neq AC^{2}$，$AC^{2}+BC^{2}\neq AB^{2}$，所以$\triangle ABC$不是直角三角形。

16. (7分)(桐乡市期中)已知$\triangle ABC的三条边长分别为a,b,c$,其中$a= m - n$,$b= 2\sqrt{mn}$,$c= m + n$,且$m＞n＞0$。$\triangle ABC$是直角三角形吗？请证明你的判断。

答案： 证明：
$\because a = m - n$，$b = 2\sqrt{mn}$，
$\therefore a^{2} + b^{2} = (m - n)^{2} + (2\sqrt{mn})^{2} = m^{2} - 2mn + n^{2} + 4mn = m^{2} + 2mn + n^{2} = (m + n)^{2}$。
$\because c = m + n$，
$\therefore c^{2} = (m + n)^{2}$。
$\therefore a^{2} + b^{2} = c^{2}$。
$\therefore \triangle ABC$是直角三角形。

17. (8分)(上杭县期中)如图,某港口$P$位于东西方向的海岸线上。“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后分别位于$Q,R$处,且相距30海里。如果知道“远航”号沿北偏东$50^{\circ}$方向航行,则“海天”号沿哪个方向航行？

答案： 解：由题意得，“远航”号航行的距离$PQ=16×1.5=24$海里，“海天”号航行的距离$PR=12×1.5=18$海里，已知$QR=30$海里。
因为$18^{2}+24^{2}=324 + 576=900=30^{2}$，所以$\triangle PQR$是直角三角形，且$\angle QPR=90^{\circ}$。
由于“远航”号沿北偏东$50^{\circ}$方向航行，即$\angle NPQ=50^{\circ}$，所以$\angle NPR=\angle QPR-\angle NPQ=90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ}$。
因此，“海天”号沿北偏西$40^{\circ}$方向航行。