《2025年赢在暑假抢分计划八年级数学人教版》

11. 如图,在△ABC中,已知∠BAC= 50°,∠C= 60°,AD是高,BE是∠ABC的平分线,AD,BE交于点F,则∠AFE= ______。

55°

答案： 解：在△ABC中，∠BAC=50°，∠C=60°，
∠ABC=180°-∠BAC-∠C=180°-50°-60°=70°。
BE是∠ABC的平分线，∠ABE=∠EBC=70°÷2=35°。
AD是高，∠ADC=90°，在△ADC中，∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-60°=30°，
∠BAF=∠BAC-∠DAC=50°-30°=20°。
在△ABF中，∠AFB=180°-∠BAF-∠ABE=180°-20°-35°=125°，
∠AFE=180°-∠AFB=180°-125°=55°。
故答案为：55°。

12.(哈尔滨)在△ABC中,AD为边BC上的高,∠ABC= 30°,∠CAD= 20°,则∠BAC= ______80°或40°。

答案： 解：
情况一：AD在△ABC内部
∵AD为BC边上的高
∴∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△ABD中，∠ABC=30°
∴∠BAD=90°-∠ABC=90°-30°=60°
∵∠CAD=20°
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°
情况二：AD在△ABC外部
∵AD为BC边上的高
∴∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△ABD中，∠ABC=30°
∴∠BAD=90°-∠ABC=90°-30°=60°
∵∠CAD=20°
∴∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°-20°=40°
综上，∠BAC=80°或40°
答案：80°或40°

13. 如图,在△ABC中,已知点D,E,F分别是BC,AD,BE上的中点,且△ABC的面积为$8cm^2,$则△BCF的面积为$1cm^2。$

答案： 解：
∵D是BC中点，
∴S_△ABD=S_△ACD=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$×8=4cm²。
∵E是AD中点，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$S_△ABD=$\frac{1}{2}$×4=2cm²，S_△CBE=$\frac{1}{2}$S_△ACD=$\frac{1}{2}$×4=2cm²。
∵F是BE中点，
∴S_△BCF=$\frac{1}{2}$S_△CBE=$\frac{1}{2}$×2=1cm²。
答案：1

14. 平面上,将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起,如图,则∠3+∠1-∠2= ______。

24°

答案： 解：正三角形内角为$60^{\circ}$，正方形内角为$90^{\circ}$，正五边形内角为$\frac{(5-2)×180^{\circ}}{5}=108^{\circ}$，正六边形内角为$\frac{(6-2)×180^{\circ}}{6}=120^{\circ}$。
由图可知：
$\angle1=120^{\circ}-108^{\circ}=12^{\circ}$，
$\angle2=108^{\circ}-90^{\circ}=18^{\circ}$，
$\angle3=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$。
则$\angle3+\angle1-\angle2=30^{\circ}+12^{\circ}-18^{\circ}=24^{\circ}$。
$24^{\circ}$

15.(7分)若一个多边形的内角和的$\frac{1}{4}$比它的外角和多90°,那么这个多边形的边数是多少？

答案： 解：设这个多边形的边数是$n$。
由题意，得$\frac{1}{4}(n - 2)×180^{\circ} - 360^{\circ} = 90^{\circ}$
解方程：
$\begin{aligned}\frac{1}{4}(n - 2)×180 &= 90 + 360\\frac{1}{4}(n - 2)×180 &= 450\\(n - 2)×180 &= 450×4\\(n - 2)×180 &= 1800\\n - 2 &= 1800÷180\\n - 2 &= 10\\n &= 12\end{aligned}$
答：这个多边形的边数是12。

16.(8分)在△ABC中,AB= 8,AC= 1。
(1)若BC是整数,求BC的长；
(2)已知AD是△ABC的中线,若△ACD的周长为10,求三角形ABD的周长。

答案：
(1)解：在△ABC中，AB=8，AC=1，
根据三角形三边关系，得AB - AC ＜ BC ＜ AB + AC，
即8 - 1 ＜ BC ＜ 8 + 1，
∴7 ＜ BC ＜ 9，
∵BC是整数，
∴BC=8；
(2)解：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∵△ACD的周长为10，
∴AC + AD + CD=10，
∵AC=1，
∴AD + CD=10 - AC=10 - 1=9，
∴△ABD的周长=AB + AD + BD=AB + AD + CD=8 + 9=17。

17.(7分)如图,在△ABC中,∠A= 20°,CD是∠BCA的平分线,DE是△CDA的边CA上的高,且∠EDA= ∠CDB,求∠B的大小。

答案： 解：$\because DE$是边$CA$上的高，$\therefore \angle DEA = \angle DEC = 90^{\circ}$。
$\because \angle A = 20^{\circ}$，$\therefore \angle EDA = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 20^{\circ} = 70^{\circ}$。
$\because \angle EDA = \angle CDB$，$\therefore \angle CDB = 70^{\circ}$。
$\because$ 点$E$在$CA$上，$\therefore \angle EDA + \angle CDE + \angle CDB = 180^{\circ}$，
$\therefore \angle CDE = 180^{\circ} - \angle EDA - \angle CDB = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 70^{\circ} = 40^{\circ}$。
在$\triangle DEC$中，$\angle DCE = 90^{\circ} - \angle CDE = 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}$。
$\because CD$是$\angle BCA$的平分线，$\therefore \angle BCA = 2\angle DCE = 2×50^{\circ} = 100^{\circ}$。
在$\triangle ABC$中，$\angle B = 180^{\circ} - \angle BCA - \angle A = 180^{\circ} - 100^{\circ} - 20^{\circ} = 60^{\circ}$。
答：$\angle B$的大小为$60^{\circ}$。