《2025年赢在暑假抢分计划八年级数学人教版》

8. 如图,在菱形 ABCD 中,E,O,F 分别为 AB,AC,AD 的中点,连接 CE,CF,OE,OF.
(1)求证:$\triangle BCE\cong \triangle DCF;$
(2)当 AB 与 BC 满足什么关系时,四边形AEOF 是正方形? 请说明理由.

答案：
(1) 证明：$ \because $ 四边形 $ABCD$ 为菱形，
$ \therefore AB = BC = CD = AD $，$ \angle B = \angle D $。
$ \because E $，$F $ 分别为 $AB$，$AD$ 的中点，
$ \therefore EB = \dfrac{1}{2}AB $，$ FD = \dfrac{1}{2}AD $，
$ \therefore EB = FD $。
在 $\triangle BCE$ 和 $\triangle DCF$ 中，
$\left\{\begin{array}{l} BC = DC \\ \angle B = \angle D \\ EB = FD \end{array}\right.$，
$ \therefore \triangle BCE \cong \triangle DCF(SAS) $；
(2) 当 $AB \perp BC$ 时，四边形 $AEOF$ 是正方形。
理由如下：$ \because E $，$O $，$F $ 分别为 $AB$，$AC$，$AD$ 的中点，
$ \therefore OE $ 是 $\triangle ABC$ 的中位线，$ OF $ 是 $\triangle ADC$ 的中位线，
$ \therefore OE // BC $，$ OE = \dfrac{1}{2}BC $，$ OF // CD $，$ OF = \dfrac{1}{2}CD $。
$ \because $ 四边形 $ABCD$ 为菱形，
$ \therefore AB = AD = BC = CD $，$ AB // CD $，
$ \therefore AE = \dfrac{1}{2}AB $，$ AF = \dfrac{1}{2}AD $，
$ \therefore AE = AF $，$ OE = OF $，
$ \because OE // BC $，$ AB // CD $，$ OF // CD $，
$ \therefore OE // AF $，$ OF // AE $，
$ \therefore $ 四边形 $AEOF$ 是平行四边形，
又 $ \because AE = AF $，
$ \therefore $ 平行四边形 $AEOF$ 是菱形。
$ \because AB \perp BC $，$ OE // BC $，
$ \therefore OE \perp AB $，
$ \therefore \angle AEO = 90^{\circ} $，
$ \therefore $ 菱形 $AEOF$ 是正方形。

9. (云南)如图,在$□ ABCD$中,连接 BD,E 为线段 AD 的中点,延长 BE 与 CD 的延长线交于点 F,连接 AF,$∠BDF= 90^{\circ }.$
(1)求证:四边形 ABDF 是矩形;
(2)若$AD= 5,DF= 3$,求四边形 ABCF 的面积 S.

答案：
(1) 证明：$ \because $ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$ \therefore BA // CD $，$ \therefore \angle BAE = \angle FDE $。
$ \because E$ 为 $AD$ 中点，$ \therefore AE = DE $。
又 $ \because \angle BEA = \angle FED $，
$ \therefore \triangle BEA \cong \triangle FED(\text{ASA}) $，$ \therefore EF = EB $。
$ \because AE = DE $ 且 $EF = EB $，
$ \therefore $ 四边形 $ABDF$ 是平行四边形。
$ \because \angle BDF = 90^{\circ} $，
$ \therefore $ 四边形 $ABDF$ 是矩形。
(2) 解：由
(1) 知四边形 $ABDF$ 是矩形，
$ \therefore AB = DF = 3 $，$ \angle AFD = 90^{\circ} $。
在 $Rt\triangle AFD$ 中，$AD = 5$，$DF = 3$，
$ \therefore AF = \sqrt{AD^2 - DF^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4 $。
$ \because $ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$ \therefore CD = AB = 3 $，$ \therefore FC = FD + CD = 3 + 3 = 6 $。
$ \therefore S_{\text{四边形}ABCF} = \frac{1}{2} × (AB + FC) × AF = \frac{1}{2} × (3 + 6) × 4 = 18 $。

10. (遵义)将正方形 ABCD 和菱形EFGH 按照如图所示摆放,顶点 D 与顶点 H 重合,菱形 EFGH 的对角线 HF 经过点 B,点 E,G分别在 AB,BC 上.
(1)求证:$\triangle ADE\cong \triangle CDG;$
(2)若$AE= BE= 2$,求 BF 的长.

答案：
(1) 证明：$∵$ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
$∴AD=CD$，$\angle ADB=\angle CDB$。
$∵$ 四边形 $EFGH$ 是菱形，$H$ 与 $D$ 重合，
$∴ED=GD$，$\angle EHB=\angle GHB$。
$∵\angle ADE=\angle ADB-\angle EHB$，$\angle CDG=\angle CDB-\angle GHB$，
$∴\angle ADE=\angle CDG$。
在 $\triangle ADE$ 和 $\triangle CDG$ 中，
$\left\{\begin{array}{l}AD=CD\\ \angle ADE=\angle CDG\\ ED=GD\end{array}\right.$，
$∴\triangle ADE\cong\triangle CDG(SAS)$。
(2) 解：过点 $E$ 作 $EQ\perp DF$ 于点 $Q$，则 $\angle EQB=90^\circ$。
$∵$ 四边形 $ABCD$ 是正方形，$AE=BE=2$，
$∴AB=AD=AE+BE=4$，$\angle EBQ=\angle CBD=45^\circ$，
$∴\angle QEB=\angle EBQ=45^\circ$，$EQ=BQ$。
在 $Rt\triangle EQB$ 中，$EQ^2+BQ^2=BE^2$，
$∵BE=2$，$EQ=BQ$，
$∴2EQ^2=2^2$，解得 $EQ=BQ=\sqrt{2}$（负值舍去）。
在 $Rt\triangle DAE$ 中，$DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。
$∵$ 四边形 $EFGH$ 是菱形，
$∴EF=DE=2\sqrt{5}$。
在 $Rt\triangle EQF$ 中，$QF=\sqrt{EF^2-EQ^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-(\sqrt{2})^2}=3\sqrt{2}$，
$∴BF=QF-QB=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。
答案：
(2) $\boxed{2\sqrt{2}}$