《2025年赢在暑假抢分计划八年级数学人教版》

1. 下列二次根式中,能与$\sqrt {3}$合并的二次根式的是(B)
A.$\sqrt {18}$
B.$\sqrt {\frac {1}{3}}$
C.$\sqrt {24}$
D.$\sqrt {0.3}$

答案： 解：A. $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$，与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能合并；
B. $\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，与$\sqrt{3}$是同类二次根式，能合并；
C. $\sqrt{24} = 2\sqrt{6}$，与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能合并；
D. $\sqrt{0.3} = \sqrt{\frac{3}{10}} = \frac{\sqrt{30}}{10}$，与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能合并。
答案：B

2. 下列判断正确的是(A)
A.$\frac {3}{2}＜\sqrt {3}＜2$
B.$2＜\sqrt {2}+\sqrt {3}＜3$
C.$1＜\sqrt {5}-\sqrt {3}＜2$
D.$4＜\sqrt {3}×\sqrt {5}＜5$

答案： A. 因为$(\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} = 2.25$，$(\sqrt{3})^2 = 3$，$2^2 = 4$，且$2.25 ＜ 3 ＜ 4$，所以$\frac{3}{2} ＜ \sqrt{3} ＜ 2$，A正确。
B. 因为$\sqrt{2} \approx 1.414$，$\sqrt{3} \approx 1.732$，所以$\sqrt{2} + \sqrt{3} \approx 3.146$，则$3 ＜ \sqrt{2} + \sqrt{3}$，B错误。
C. 因为$\sqrt{5} \approx 2.236$，$\sqrt{3} \approx 1.732$，所以$\sqrt{5} - \sqrt{3} \approx 0.504$，则$\sqrt{5} - \sqrt{3} ＜ 1$，C错误。
D. 因为$\sqrt{3}×\sqrt{5} = \sqrt{15}$，$4^2 = 16$，所以$\sqrt{15} ＜ 4$，D错误。
结论：A

3. (湖北)下列各式计算正确的是(C)
A.$\sqrt {2}+\sqrt {3}= \sqrt {5}$
B.$4\sqrt {3}-3\sqrt {3}= 1$
C.$\sqrt {2}×\sqrt {3}= \sqrt {6}$
D.$\sqrt {10}÷2= \sqrt {5}$

答案： 解：A. $\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能合并，故A错误；
B. $4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=\sqrt{3}$，故B错误；
C. $\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}$，故C正确；
D. $\sqrt{10}÷2=\frac{\sqrt{10}}{2}$，故D错误。
答案：C

4. 计算$4\sqrt {\frac {1}{2}}+3\sqrt {\frac {1}{3}}-\sqrt {8}$的结果是(B)
A.$\sqrt {3}+\sqrt {2}$
B.$\sqrt {3}$
C.$\frac {\sqrt {3}}{3}$
D.$\sqrt {3}-\sqrt {2}$

答案： 解：原式$=4×\frac{\sqrt{2}}{2}+3×\frac{\sqrt{3}}{3}-2\sqrt{2}$
$=2\sqrt{2}+\sqrt{3}-2\sqrt{2}$
$=\sqrt{3}$
答案：B

5. (青岛)计算$(\sqrt {27}-\sqrt {12})×\sqrt {\frac {1}{3}}$的结果是(B)
A.$\frac {\sqrt {3}}{3}$
B.1
C.$\sqrt {5}$
D.3

答案： 解：$(\sqrt{27} - \sqrt{12}) × \sqrt{\frac{1}{3}}$
$= (\sqrt{9 × 3} - \sqrt{4 × 3}) × \frac{\sqrt{3}}{3}$
$= (3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}) × \frac{\sqrt{3}}{3}$
$= \sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{3}$
$= \frac{3}{3}$
$= 1$
B

6. 下列运算正确的是(D)
A.$(3-\sqrt {2})(3+\sqrt {2})= 3-2= 1$
B.$(\sqrt {2}+\sqrt {3})^{2}= (\sqrt {2})^{2}+(\sqrt {3})^{2}= 5$
C.$(2\sqrt {2}-\sqrt {3})(\sqrt {2}+\sqrt {3})= (2\sqrt {2})^{2}-(\sqrt {3})^{2}= 5$
D.$(\sqrt {3}-\sqrt {\frac {1}{3}})^{2}= 3-2+\frac {1}{3}= \frac {4}{3}$

答案： 解：
A. $(3-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})=3^2-(\sqrt{2})^2=9-2=7\neq1$，错误。
B. $(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=(\sqrt{2})^2+2\sqrt{2}×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=2+2\sqrt{6}+3=5+2\sqrt{6}\neq5$，错误。
C. $(2\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})=2\sqrt{2}×\sqrt{2}+2\sqrt{2}×\sqrt{3}-\sqrt{3}×\sqrt{2}-\sqrt{3}×\sqrt{3}=4+\sqrt{6}-3=1+\sqrt{6}\neq5$，错误。
D. $(\sqrt{3}-\sqrt{\frac{1}{3}})^2=(\sqrt{3})^2-2×\sqrt{3}×\sqrt{\frac{1}{3}}+(\sqrt{\frac{1}{3}})^2=3-2+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$，正确。
结论：D

7. 估计$\sqrt {32}×\sqrt {\frac {1}{4}}+\sqrt {18}$的运算结果应在(C)
A.5到6之间
B.6到7之间
C.7到8之间
D.8到9之间

答案： 解：$\sqrt{32} × \sqrt{\frac{1}{4}} + \sqrt{18}$
$=\sqrt{32 × \frac{1}{4}} + 3\sqrt{2}$
$=\sqrt{8} + 3\sqrt{2}$
$=2\sqrt{2} + 3\sqrt{2}$
$=5\sqrt{2}$
$\because \sqrt{2} \approx 1.414$
$\therefore 5\sqrt{2} \approx 5 × 1.414 = 7.07$
$\because 7 ＜ 7.07 ＜ 8$
$\therefore$运算结果应在7到8之间。
C

8. 等腰三角形的两边长分别为$2\sqrt {3}和5\sqrt {2}$,则此等腰三角形的周长为(B)
A.$4\sqrt {3}+5\sqrt {2}$
B.$2\sqrt {3}+10\sqrt {2}$
C.$4\sqrt {3}+10\sqrt {2}$
D.$4\sqrt {3}+5\sqrt {2}或2\sqrt {3}+10\sqrt {2}$

答案： 解：分两种情况讨论：
情况一：腰长为$2\sqrt{3}$，底边长为$5\sqrt{2}$。
此时两腰之和为$2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$。
因为$4\sqrt{3} = \sqrt{16×3} = \sqrt{48}$，$5\sqrt{2} = \sqrt{25×2} = \sqrt{50}$，而$\sqrt{48} ＜ \sqrt{50}$，即$4\sqrt{3} ＜ 5\sqrt{2}$，不满足三角形两边之和大于第三边，所以此情况不成立。
情况二：腰长为$5\sqrt{2}$，底边长为$2\sqrt{3}$。
此时两腰之和为$5\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$，$10\sqrt{2} ＞ 2\sqrt{3}$（因为$10\sqrt{2} = \sqrt{100×2} = \sqrt{200}$，$2\sqrt{3} = \sqrt{4×3} = \sqrt{12}$，$\sqrt{200} ＞ \sqrt{12}$），且任意两边之差小于第三边，满足三角形三边关系。
所以周长为$10\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$。
答案：B

9. 按如图所示的程序计算,若开始输入的n值为$\sqrt {2}$,则最后输出的结果是(C)
A.14
B.16
C.$8+5\sqrt {2}$
D.$14+\sqrt {2}$

答案： 解：输入$n = \sqrt{2}$
第一步：计算$n(n + 1)=\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)=2+\sqrt{2}\approx3.414$，$3.414＜15$，返回输入
第二步：输入$n = 2+\sqrt{2}$，计算$n(n + 1)=(2+\sqrt{2})(3+\sqrt{2})=6 + 2\sqrt{2}+3\sqrt{2}+2=8 + 5\sqrt{2}\approx8 + 7.071=15.071$，$15.071＞15$，输出结果
$8 + 5\sqrt{2}$
答案：C

10. 已知$m= 1+\sqrt {2}$,$n= 1-\sqrt {2}$,则代数式$\sqrt {m^{2}+n^{2}-3mn}$的值为(C)
A.9
B.±3
C.3
D.5

答案： 解：
∵ $ m = 1 + \sqrt{2} $，$ n = 1 - \sqrt{2} $，
∴ $ m + n = (1 + \sqrt{2}) + (1 - \sqrt{2}) = 2 $，
$ mn = (1 + \sqrt{2})(1 - \sqrt{2}) = 1 - (\sqrt{2})^2 = 1 - 2 = -1 $。
则 $ m^2 + n^2 - 3mn = (m + n)^2 - 5mn = 2^2 - 5×(-1) = 4 + 5 = 9 $。
∴ $ \sqrt{m^2 + n^2 - 3mn} = \sqrt{9} = 3 $。
答案：C

11. (天津)计算$(\sqrt {19}+1)(\sqrt {19}-1)$的结果等于18。

答案： 解：$(\sqrt{19} + 1)(\sqrt{19} - 1)$
$= (\sqrt{19})^2 - 1^2$
$= 19 - 1$
$= 18$
18

12. (临邑县期末)如果最简二次根式$\sqrt {2x+1}和\sqrt {4x-3}$能合并,则x的值为____2。

答案： 解：因为最简二次根式$\sqrt{2x + 1}$和$\sqrt{4x - 3}$能合并，所以它们的被开方数相等，即$2x + 1 = 4x - 3$。
解方程：$2x + 1 = 4x - 3$
移项得：$1 + 3 = 4x - 2x$
合并同类项得：$4 = 2x$
解得：$x = 2$
当$x = 2$时，$2x + 1 = 5$，$4x - 3 = 5$，均为正数，符合最简二次根式的条件。
故$x$的值为$2$。
答案：$2$

13. 已知$\sqrt {x}-\frac {1}{\sqrt {x}}= 2$,则$\sqrt {x^{2}+\frac {1}{x^{2}}+14}= $$4\sqrt{3}$。

答案： 解：设$ t = \sqrt{x} $（$ t ＞ 0 $），则$ \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{t} $，已知$ t - \frac{1}{t} = 2 $。
两边平方得：$ (t - \frac{1}{t})^2 = 2^2 $，即$ t^2 - 2 + \frac{1}{t^2} = 4 $，所以$ t^2 + \frac{1}{t^2} = 6 $。
因为$ x = t^2 $，所以$ x + \frac{1}{x} = t^2 + \frac{1}{t^2} = 6 $。
再将$ x + \frac{1}{x} = 6 $两边平方：$ (x + \frac{1}{x})^2 = 6^2 $，即$ x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 36 $，所以$ x^2 + \frac{1}{x^2} = 34 $。
则$ \sqrt{x^2 + \frac{1}{x^2} + 14} = \sqrt{34 + 14} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} $。
$4\sqrt{3}$