《2025年赢在暑假抢分计划八年级数学人教版》

例1 (陈仓区期末)下列各组数据中是勾股数的是(C)
A.$0.3,0.4,0.5$
B.$3^{2},4^{2},5^{2}$
C.$9,12,15$
D.$\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}$

答案： 【解析】：
本题主要考察勾股数的定义及判断。勾股数是指满足勾股定理的三个正整数，即$a^2 + b^2 = c^2$。同时，这三个数还必须是正整数，不能是小数、分数或带有根号的数。
A选项：$0.3, 0.4, 0.5$，这三个数都是小数，不是正整数，所以不是勾股数。
B选项：$3^2, 4^2, 5^2$，虽然这三个数都是整数，但分别计算得$9, 16, 25$，而$9+16 \neq 25$，且题目中的表述方式（即使用平方形式）暗示了它们不是直接作为三角形的边长，因此不是勾股数。更重要的是，勾股数指的是边长，而不是边长的平方。
C选项：$9, 12, 15$，这三个数都是正整数，且$9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2$，满足勾股定理，所以是勾股数。
D选项：$\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}$，这三个数都是分数，不是正整数，所以不是勾股数。
综上所述，只有C选项是勾股数。
【答案】：
C

例2 如图,在四边形$ABCD$中,$\angle A= 90^{\circ}$,$AB= 3$,$AD= 2\sqrt{3}$,$BC= 2\sqrt{7}$,$CD= 7$。则四边形$ABCD$的面积为$10\sqrt{3}$。

答案： 【解析】：本题主要考查了勾股定理及其逆定理的运用和四边形面积的计算。
首先，连接$BD$，由于$\angle A = 90^{\circ}$，$AB = 3$，$AD = 2\sqrt{3}$，可以利用勾股定理求出$BD$的长度。
根据勾股定理，直角三角形的斜边$c$满足$c^2 = a^2 + b^2$，其中$a$和$b$是直角边。
所以，$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{3^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 12} = \sqrt{21}$。
接着，观察三角形$BCD$，已知$BC = 2\sqrt{7}$，$CD = 7$，需要验证是否满足勾股定理，即是否$CD^2 = BC^2 + BD^2$。
计算得，$CD^2 = 7^2 = 49$，$BC^2 + BD^2 = (2\sqrt{7})^2 + (\sqrt{21})^2 = 28 + 21 = 49$。
由于$CD^2 = BC^2 + BD^2$，根据勾股定理的逆定理，得出$\angle CBD = 90^{\circ}$。
最后，计算四边形$ABCD$的面积。由于$\angle A$和$\angle CBD$都是直角，所以四边形$ABCD$的面积可以拆分为两个直角三角形的面积之和，即$S_{四边形ABCD} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle BCD}$。
根据直角三角形面积公式，$S = \frac{1}{2} × \text{底} × \text{高}$，
所以，$S_{四边形ABCD} = \frac{1}{2} × AB × AD + \frac{1}{2} × BC × BD = \frac{1}{2} × 3 × 2\sqrt{3} + \frac{1}{2} × 2\sqrt{7} × \sqrt{21} = 3\sqrt{3} + \sqrt{7} × \sqrt{21} = 3\sqrt{3} + 7\sqrt{3} = 10\sqrt{3}$。
【答案】：$10\sqrt{3}$