《2025年赢在暑假抢分计划八年级数学人教版》

17. (10分)(东港市期末)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,DE⊥AB于点E,交AC于点P,BF⊥DC于点F.
(1)四边形DEBF是______;
(2)若BE= 2,BF= 4,求DP的长.

答案：
解:
(1)矩形
(2)如图,连接PB.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC垂直平分BD,
∴PB = PD.由
(1)知,四边形DEBF是矩形,
∴DE = FB = 4.设PD = BP = x,则PE = 4 - x.在Rt△PEB中,由勾股定理,得(4 - x)² + 2² = x²,解得x = $\frac{5}{2}$,
∴DP = $\frac{5}{2}$.

18. (10分)(雅安)如图,E,F是正方形ABCD的对角线BD上的两点,且BE= DF.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)若AB= 3$\sqrt{2}$,BE= 2,求四边形AECF的面积.

答案：

(1)证明:
∵四边形ABCD为正方形,
∴CD = AB,∠ABE =∠CDF = 45°.又
∵BE = DF,
∴△ABE≌△CDF(SAS).
(2)解:如图,连接AC,交BD于点O.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,AO = CO,DO = BO.又
∵DF = BE,
∴OE = OF,AO = CO,
∴四边形AECF是平行四边形.
∵AC⊥EF,
∴四边形AECF是菱形.
∵AB = 3$\sqrt{2}$,
∴AC = BD = 6.
∵BE = DF = 2,
∴EF = BD - DF - BE = 6 - 2 - 2 = 2,
∴四边形AECF的面积 = $\frac{1}{2}$AC·EF = $\frac{1}{2}$×6×2 = 6.

19. (12分)如图,在□ABCD中,AB= 6cm,BC= 10cm,∠B= 60°,点G是CD的中点,点E是边AD上的动点,EG的延长线与BC的延长线交于点F,连接CE,DF.
(1)求证:四边形CEDF是平行四边形;
(2)①直接写出:当AE= ______cm时,四边形CEDF是菱形;(不需要说明理由)
②当AE= ______cm时,四边形CEDF是矩形,请说明理由.

答案：

(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC//AD,
∴∠FCG =∠EDG.
∵G是CD的中点,
∴CG = DG.
∵∠CGF =∠DGE,
∴△CFG≌△DEG(ASA),
∴FG = EG.又
∵CG = DG,
∴四边形CEDF是平行四边形.
(2)①4 ②当AE = 7cm时,平行四边形CEDF是矩形,理由如下:如图,过点A作AM⊥BC于点M.
∵∠B = 60°,AB = 6cm,
∴BM = $\frac{1}{2}$AB = 3cm.
∵AE = 7cm,
∴DE = AD - AE = 3cm = BM.在△MBA和△EDC中,$\begin{cases} BM = DE, \\ \angle B = \angle CDE, \\ AB = CD, \end{cases}$
∴△MBA≌△EDC(SAS),
∴∠CED =∠AMB = 90°.
∵四边形CEDF是平行四边形,
∴平行四边形CEDF是矩形.