《2025年赢在暑假抢分计划八年级数学人教版》

16. (12分)已知一次函数$y = (2 - k)x - 2k$$+ 6$.
(1)当$k = $____时,它的图象经过原点;
(2)$k$满足何条件时,它的图象平行于直线$y = -x + 1$;
(3)$k$满足何条件时,图象经过第一、二、四象限;
(4)$k$满足何条件时,它的图象与$y轴的交点在x$轴的上方.

答案：
解:
(1) 3
(2) 由题意, 得 $ 2 - k = -1 $ 且 $ -2k + 6 \neq 1 $, 解得 $ k = 3 $;
(3) 由题意, 得 $ 2 - k ＜ 0 $, 且 $ -2k + 6 ＞ 0 $, 解得 $ 2 ＜ k ＜ 3 $;
(4) 由题意, 得 $ -2k + 6 ＞ 0 $ 且 $ 2 - k \neq 0 $,
∴ $ k ＜ 3 $ 且 $ k \neq 2 $.

17. (14分)(张店区校级期末)如图,在平面直角坐标系中,直线$l经过原点O和点A(2,1)$,经过点$A的另一条直线交x轴于点B$$(4,0)$.
(1)求直线$l$的函数解析式;
(2)在直线$l上求一点P$,使$S_{\triangle AOB} = $$\frac{1}{2}S_{\triangle ABP}$,求点$P$坐标.

答案：
(1) 设直线$ l $的函数解析式为$ y = kx $，将点$ A(2,1) $代入，得$ 2k = 1 $，解得$ k = \frac{1}{2} $，所以直线$ l $的函数解析式为$ y = \frac{1}{2}x $。
(2) 已知点$ A(2,1) $，$ B(4,0) $，$ O(0,0) $，$ \triangle AOB $的面积为$ \frac{1}{2} × 4 × 1 = 2 $。设点$ P(t, \frac{t}{2}) $。
当点$ P $在点$ A $左侧时，$ S_{\triangle ABP} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle BOP} = 2 + \frac{1}{2} × 4 × |\frac{t}{2}| = 2 + |t| $。因为$ S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2}S_{\triangle ABP} $，所以$ 2 = \frac{1}{2}(2 + |t|) $，又因为$ t ＜ 2 $，解得$ t = -2 $，此时$ P(-2, -1) $。
当点$ P $在点$ A $右侧时，$ S_{\triangle ABP} = S_{\triangle BOP} - S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} × 4 × \frac{t}{2} - 2 = t - 2 $。因为$ S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2}S_{\triangle ABP} $，所以$ 2 = \frac{1}{2}(t - 2) $，解得$ t = 6 $，此时$ P(6, 3) $。
综上，点$ P $的坐标为$ (-2, -1) $或$ (6, 3) $。

18. (16分)(苏州)某水果店经销甲、乙两种水果,两次购进水果的情况如表所示:
(1)求甲、乙两种水果的进价;
(2)销售完前两次购进的水果后,该水果店决定回馈顾客,开展促销活动.第三次购进甲、乙两种水果共$200$千克,且投入的资金不超过$3360$元.将其中的$m千克甲种水果和3m$千克乙种水果按进价销售,剩余的甲种水果以每千克$17$元、乙种水果以每千克$30$元的价格销售.若第三次购进的$200$千克水果全部售出后,获得的最大利润不低于$800$元,求正整数$m$的最大值.

答案：
(1) 设甲、乙两种水果的进价分别为每千克 $a$ 元、每千克 $b$ 元。由题意，得
$\begin{cases}60a + 40b = 1520 \\30a + 50b = 1360\end{cases}$
解得
$\begin{cases}a = 12 \\b = 20\end{cases}$
答：甲、乙两种水果的进价分别为每千克 12 元、每千克 20 元。
(2) 设第三次购进 $x$ 千克甲种水果。由题意，得
$12x + 20(200 - x) \leq 3360$
解得 $x \geq 80$。
设获得的利润为 $w$ 元。由题意，得
$w = (17 - 12)(x - m) + (30 - 20)(200 - x - 3m) = -5x - 35m + 2000$
$\because -5 ＜ 0$，$\therefore w$ 随 $x$ 的增大而减小，$\therefore x = 80$ 时，$w$ 的最大值为 $-35m + 1600$。
由题意，得
$-35m + 1600 \geq 800$
解得 $m \leq \frac{160}{7}$，$\therefore m$ 的最大整数值为 22。
答：正整数 $m$ 的最大值为 22。